树状图 dendrogram 亦称树枝状图。树形图是数据树的图形表示形式，以父子层次结构来组织对象。是枚举法的一种表达方式。 为了用图表示亲缘关系，把分类单位摆在图上树枝顶部，根据分枝可以表示其相互关系，具有二次元和三次元。在数量分类学上用于表型分类的树状图，称为表型树状图（phenogram），掺入系统的推论的称为系统树状图（cladogram）以资区别。表型树状图是根据群析描绘的，系统树状图是根据一种模拟的假定的性状进化方向即用电子计算机描绘的。 树状图也是初中学生学习概率问题所需要画的一种图形。 如何画树状图 最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点v，求一棵有向生成树T，使得该有向树的根为v，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。 判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的算法中不再考虑树形图不存在的情况。 在所有操作开始之前，大家需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。 首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，大家可以 证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，大家就要将这个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在 该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。 上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候大家将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。大家会发现，如果新图中e的权w(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在大家删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，大家 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。 如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于大家一开始已经拿掉了所有的 自环，偶门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以大家最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。
