【数学与算法】奇异矩阵 奇异值 奇异值分解 奇异性

我们经常会碰到几个名词很相近的一些数学术语，例如奇异矩阵、奇异值、奇异值分解、奇异性，经常会混淆，这里把它们的定义放在一起，做一下总结：

1.奇异矩阵：

奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。

首先，看这个矩阵是不是方阵，即行数和列数相等的矩阵，若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵;然后，再看此矩阵的行列式∣A∣\color{red}|A|∣A∣是否等于0，若∣A∣=0\color{red}|A|=0∣A∣=0，称矩阵AAA为奇异矩阵；若∣A∣≠0\color{red}|A|≠0∣A∣​=0，称矩阵AAA为非奇异矩阵。同时，由∣A∣≠0\color{red}|A|≠0∣A∣​=0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果AAA为奇异矩阵，则 AX=0\color{red}AX=0AX=0 有无穷解，AX=b\color{red}AX=bAX=b 有无穷解或者无解;如果AAA为非奇异矩阵，则 AX=0\color{red}AX=0AX=0 有且只有唯一零解，AX=b\color{red}AX=bAX=b 有唯一解。

2.奇异值和奇异值分解：

这篇博客奇异值的物理意义是什么，是讲解奇异值的作用，有例子分析使用奇异值分解来进行图像压缩与图像去噪，并且对于不是方阵的矩阵也可以分解。

图像压缩与图像去噪用的方法都是奇异值分解，过程也是一样，但是他们的目的不一样：

当我们想要压缩图像进行传输时，我们可以用奇异值分解；当我们想要对图像进行去噪时，我们也可以用奇异值分解；

这就像，我们想要看电影，我们可以使用电脑；我们想要打游戏，我们也可以使用电脑。

该博客的核心是：

这里做一下说明：uuu、vvv都是列向量，uuu列向量的维度等于Am∗nA_{m*n}Am∗n​的行数m、vvv列向量的维度等于AAA的列数n，那么 uvTuv^TuvT就是(mx1)*(1xn)=mxn的矩阵，但是uvTuv^TuvT的秩必定为1。

例如：

[123]∗[678]=[1∗61∗71∗82∗62∗72∗83∗63∗73∗8]\begin{bmatrix} 1\\2\\3\\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 6&7&8\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1*6&1*7&1*8\\2*6&2*7&2*8\\3*6&3*7&3*8\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​123​⎦⎤​∗[6​7​8​]=⎣⎡​1∗62∗63∗6​1∗72∗73∗7​1∗82∗83∗8​⎦⎤​

可以看到，上面等式右边的矩阵秩必定为1。

【奇异值分解】 在 【图像压缩】 的运用：

这篇博客奇异值分解是讲解怎么进行SVD奇异值分解，包括求UUU、VVV、奇异值矩阵Σ\SigmaΣ。主要内容如下：

3.奇异性：