（想借该模型 讲清直积态以及TB Model哈密顿量）
入手复杂的事物之前，从手算几个简单的例子开始是最好的。
所以，不妨谈谈二维方格子吧。
一个复杂的晶体，其内部的具有复杂的元胞（最小重复单元），每个元胞内有多个原子，每个原子内有多个轨道，即使在做各种近似之后，完整地求解一个真实体系也是一件相当不容易的事，为了清晰地认识物质的属性，因此会有专门凝聚态物理工作者从事这里的研究（当然完全只做算法的人并不多）。所以我想在这里谈一个Toy Model介绍一个凝聚态物理中常用的近似手段，当然它也是也是一个构造拓扑Model和寻找对称性保护拓扑态的手段（Tight-Binding Model）。
目录：
1.方格子TB Model *2.Hofstadter Model (在方格子上加磁场)
*3.“降维”(周期性边界条件+傅里叶变换)：
*4. Magnetic unit cell and Hall Conductance （
）
“*”表示可能不写。因为这些东西教材和文献上讲的比较清楚，似乎并不需要我的赘述。如果什么时候想写了再补充。
最后想强调一点：我写的东西都事不能保证严格且正确，仅仅只是我理解中的物理。如果找出明显错误请在评论区指出，我会加以改正并补全。
首先，我们考虑如上方格子（二维晶体体系），每个格点（交叉点）上放一个各向同性的电子轨道（能级）（s轨道电子）。体系近似的哈密顿量可写成：
首先使用微扰论的观点处理这个问题，认为每个格点上都有一个初始波函数：
：，且认为不同格点之间的波函数相互正交：。
这也就是书上讲的，紧束缚（Tight Binding Model）近似的核心是原子轨道线性组合：
(其中 为在（m,n）格点观察到电子的概率幅度， 表示体系本征波函数。) ，然后就是 不同格点间轨道的正交性假设。
本质上它就是一个阵力学的问题，或者说是一个一阶简并微扰论的问题，每个格点间电子电子库伦相互作用被当作了微扰，然后我们在希尔伯特空间
里做计算。
由此我们可以按照套路，直接计算哈密顿量矩阵
,其矩阵元为： ,然后对角化哈密顿量，我们便得到了体系的本征能量以及本征波矢。 我们可以求出哈密顿量的矩阵元：
由于在希尔伯特空间里总的哈密顿量是一个矩阵，直接写起来不够方便也不直观，由此我们可以换用投影算符的形式来描述这样一个哈密顿量矩阵如下：
其中
.( 表示 )
（其实这个也可以通过二次量子化语言来表示，关于这个问题或许可以之后如果想写了，我会把它连着密度矩阵一起写一篇小note）。
实际上关于这个
一般都不是直接计算得到，一般是情况是自己设值或者通过从DFT自洽计算等手段求出一个体系中的 数值如（wannier_90）。
考虑到不同格点之间的波函数交叠很小，在我们写Toy Model 时候一般只考虑最近邻格点之间的交叠。因此认为处理最近邻的相互作用，其他的
均匀0。由此哈密顿量可写成：
其实在这种一阶微扰论的框架下处理问题的方式，我完全可以换一种方式来理解:
（关于更高阶的微扰，等我算完我的一系列响应函数之后再来专门写一系列的note）
这样一阶微扰的框架，其实我们完全是在希尔伯特空间里玩游戏，我们找到一组基函数，把哈密顿量在这个空间下表示出来，然后对角化，用原来的基矢组成一组新的本征态。
对于这种整个格点系统的希尔伯特空间，由于我们假定每个格点间的波函数相互正交，因此我们可以通过讲所以格点上的希尔伯特空间直积起来的方式生成这个总的希尔伯特空间：
其中
表示m,n格点上的第 i 个态矢。
由于这里只考虑一条轨道，因此每个格点上的态矢空间维度为1。如果想玩点花的，我们可以考虑每个格点上是一个p电子轨道且考虑自旋轨道耦合，这时每个格点上的希尔伯特空间为：
对于这种只有两体相互作用的体系哈密顿量可写成：
如果只考虑最近邻的格点之间才有相互作用：
描述 位置格点的在位势能， 描述 位置格点与 位置格点间的相互作用。
这是形式理论，那我们要如何具体操作？或者说对于这样一个二维方格子的哈密顿量矩阵要怎么写呢？
这个哈密顿量在X、Y方向上都有指标，直观上看似乎不可能写出一个矩阵它既能描述不同行之间的作用又能描述不同列之间的作用，因为不同行之间的作用对应于一个N*N的矩阵，不同列之间的作用对应于一个M*M的矩阵。这在我刚学这个Model时纠结了好一段时间。
这时候，或许可以回到模型的出发点，我们在做什么？我在解一个简并微扰论的问题，那么基函数是什么？基矢空间是{
},因此我们的哈密顿量是一个 的 维度矩阵。
如果我们用矩阵直积的方式来理解，那么我们的哈密顿量就可以用更简练的手法来写：
为了能好的理解上面的哈密顿量，我们继续来看只包含最近邻相互作用的哈密顿量：
不难看出：
、 是两个单位矩阵， 此外：
同理得出
相关的矩阵元。我们的哈密顿量通过两个套矩阵直积便可得到。
为什么我们能这么写我们得哈密顿量矩阵？
继续回到我们的整体的希尔伯特空间（基矢空间）：
{
}
这里哈密顿量中的
描述X 方向上的相互作用，对应与X维度上的指标：
两个矩阵的直积：
则是说我们，把描述Y维度上的指标插入到X维度的指标中：
由此组成一个能完整描述二维体系格子的基矢空间。
由此我们便完备的描述了这个方格子里的所有信息，并且能用矩阵对角化的方式完全求解这个近似Model。
故事到这里就结束了。看明白了这个故事就可以理解
@FOREST.Z
的回答中Code 了。
Hofstadter hubbard 模型如何推导？
如果想具体的另找算例可参考如下教材中的SSH Model：
A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions
然后自己手写一个2D SSH Model 等等。
