机器学习-cs229-线性回归part one

任务：预测房价损失函数cost function线性回归的逻辑：梯度下降法房价函数的梯度下降式子：学习率learning rate：参数 α求J(θ)的极小值方法一：BDG 批量梯度下降，计算整个数据集的梯度方法二：随机梯度下降法

任务：预测房价

价格= F（面积，床数）

目标函数:

向量表示:

损失函数cost function

我们最终确定的线性函数h(x)上每个x值对应的h(x)值 & 真实的y值之间的差别，而差别我们用平方差来表示。

注：

– 1/2是为了后续求导时能够约掉平方，对于结果来说无影响

– 这里针对其中一个i的情况，而所有情况是1/2m(如果有m个房间)

– 为什么要用平方？

线性回归的逻辑：

要确定参数θ—》就要确定使得J(θ)最小的θ，让代价函数越低，越靠近样本值----》求J(θ)的极小值----》方法：梯度下降法

梯度下降法

梯度：多元函数的导数

表示：梯度下降的式子

这里梯度前面有一个参数η，意义是：沿η率的梯度下降达到更新后的值

-图片表示：

房价函数的梯度下降式子：

学习率learning rate：参数 α

是对梯度做调整，防止步长过大或者过小，错过极小值

由于h(x)由参数θ和x决定，在损失函数中由于

求J(θ)的极小值

所以原来的梯度下降的式子可以写成：

当梯度下降表达式稳定收敛时，我们才能求出对应的参数θ值。

梯度下降算法主要有三种变种，主要区别在于使用多少数据来计算目标函数的梯度。 不同方法主要在准确性和优化速度间做权衡。

方法一：BDG 批量梯度下降，计算整个数据集的梯度

优点：

对于凸目标函数，可以保证全局最优； 对于非凸目标函数，可以保证一个局部最优。

缺点：

速度慢; 数据量大时不可行; 无法在线优化(即无法处理动态产生的新样本)

单变量示例：

多变量示例：

在多变量里，我们看到一个3维的图，这个图的含义是，底部xy轴是变量，当取不同变量值时，对应的损失函数的值呈现3维上的凸函数：

用矩阵化的形式表示代价函数：

当我们运行BDG方法时，当J(θ)的梯度无限接近于0，则说明此时的θ为我们要的解。

伪代码

方法二：随机梯度下降法

如果使用梯度下降法(批量梯度下降法)，那么每次迭代过程中都要对 n个样本进行求梯度，所以开销非常大，随机梯度下降的思想就是随机采样一个样本**J(xi)**来更新参数，那么计算开销就从 O(n)下降到 O(1)。

随机梯度下降虽然提高了计算效率，降低了计算开销，但是由于每次迭代只随机选择一个样本，因此随机性比较大，所以下降过程中非常曲折(图片来自《动手学深度学习》)

作者：Jackpop

链接：/question/264189719/answer/932262940

缺点：

对于最优化问题，凸问题，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。

优点：

但是相比于批量梯度，这样的方法更快，更快收敛，虽然不是全局最优，但很多时候是我们可以接受的，所以这个方法用的也比上面的多。

参考链接：

梯度下降优化算法总结.

知乎关于随机梯度算法的讨论

cs229 别人的整理

梯度下降法推导和示例