概述

从现代计算机中所有的数据二进制的形式存储在设备中。即0、1两种状态，计算机对二进制数据进行的运算(+、-、*、/)都是叫位运算，即将符号位共同参与运算的运算。

口说无凭，举一个简单的例子来看下CPU是如何进行计算的，比如这行代码：

int a = 35;int b = 47;int c = a + b;

计算两个数的和，因为在计算机中都是以二进制来进行运算，所以上面我们所给的int变量会在机器内部先转换为二进制在进行相加：

35: 0 0 1 0 0 0 1 1

47: 0 0 1 0 1 1 1 1

————————————————————

82: 0 1 0 1 0 0 1 0

所以，相比在代码中直接使用(+、-、*、/)运算符，合理的运用位运算更能显著提高代码在机器上的执行效率。

性质

1.按位与运算符（&）

参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。

运算规则：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;

即：两位同时为“1”，结果才为“1”，否则为0

例如：3&5 即 0000 0011& 0000 0101 = 00000001 因此，3&5的值得1。

另，负数按补码形式参加按位与运算。

“与运算”的特殊用途：

（1）清零

如果想将一个单元清零，即使其全部二进制位为0，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。

（2）取一个数中指定位

方法：找一个数，对应X要取的位，该数的对应位为1，其余位为零，此数与X进行“与运算”可以得到X中的指定位。

例：设X=10101110，

取X的低4位，用 X & 0000 1111 = 00001110 即可得到；

还可用来取X的2、4、6位。

（3）判断奇偶

只要根据最未位是0还是1来决定，为0就是偶数，为1就是奇数。因此可以用if ((a & 1) == 0)代替if (a % 2 == 0)来判断a是不是偶数。

2.按位或运算符（|）

参加运算的两个对象，按二进制位进行“或”运算。

运算规则：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；

即 ：参加运算的两个对象只要有一个为1，其值为1。

例如:3|5即 00000011 | 0000 0101 = 00000111 因此，3|5的值得7。

另，负数按补码形式参加按位或运算。

“或运算”特殊作用：

（1）对一个数据的某些位置1。

方法：找到一个数，对应X要置1的位，该数的对应位为1，其余位为零。此数与X相或可使X中的某些位置1。

例：将X=10100000的低4位置1 ，用X | 0000 1111 = 1010 1111即可得到。

3.异或运算符（^）

参加运算的两个数据，按二进制位进行“异或”运算。

运算规则：0^0=0； 0^1=1； 1^0=1； 1^1=0；

即：参加运算的两个对象，如果两个相应位为“异”（值不同），则该位结果为1，否则为0。

“异或运算”的特殊作用：

（1）使特定位翻转，该数对应X要翻转的对应位为1，其余位为零，此数与X对应位异或即可。

例：X=10101110，使X低4位翻转，用X ^00001111= 10100001即可得到。

（2）与0相异或，保留原值

如：X ^ 00000000 = 1010 1110。

下面重点说一下按位异或,异或其实就是不进位加法,如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

异或的几条性质:

1、交换律a ^ b = c===>a ^ c = b,b ^ c = a

2、结合律即(a ^ b) ^ c == a ^ (b ^ c)

3、对于任何数x，都有x ^ x = 0，x ^ 0 = x

4、自反性: a ^ b ^ b = a ^ 0 = a;

异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。 例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：

a=a^b;

b=b^a;

a=a^b;

应用举例1:

(1) 1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现

一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空

间，能否设计一个算法实现？

解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+…+1000的和。

这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。

解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。

将所有的数全部异或，得到的结果与1 ^ 2 ^ 3 ^ … ^ 1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

4.左移运算符（<<）

将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。

例：a = a<< 2将a的二进制位左移2位，右补0，

左移1位后a = a *2;

若左移时舍弃的高位不包含1，则每左移一位，相当于该数乘以2。

5.右移运算符（>>）

将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。

操作数每右移一位，相当于该数除以2。

例如：a = a>> 2 将a的二进制位右移2位，

左补0 or 补1得看被移数是正还是负。

6.复合赋值运算符

位运算符与赋值运算符结合，组成新的复合赋值运算符，它们是：

运算规则：和前面讲的复合赋值运算符的运算规则相似。

7.不同长度的数据进行位运算

如果两个不同长度的数据进行位运算时，系统会将二者按右端对齐，然后进行位运算。

以“与”运算为例说明如下：我们知道在C语言中long型占4个字节，int型占2个字节，如果一个long型数据与一个int型数据进行“与”运算，右端对齐后，左边不足的位依下面三种情况补足，

（1）如果整型数据为正数，左边补16个0。

（2）如果整型数据为负数，左边补16个1。

（3）如果整形数据为无符号数，左边也补16个0。

如：long a=123;int b=1;计算a& b。

如：long a=123;int b=-1;计算a& b。

如：long a=123;unsigned intb=1;计算a & b。

补充学习 链接

枚举一个无重复字符串所有子集的技巧

将该字符串转成二进制数组表示

例如： 用二进制数组表示单词中那些字母出现（1表示），那些没出现（0表示），找出该单词的所有子集。

ace 对应二进制 int origin = 21 (二进制10101)，包含的子集(n代表子集,初始 n = origin)有：

ace 10101ce 10100ae 10001ac 00101e 10000c 00100a 00001

遍历核心代码：n = (n - 1) & origin;// n-1 AND puzzleBit，生成一个puzzleBit的新的子集合

可以自己手动推算一下，是对的，n刚好遍历完所有情况

找map中 存在的 字符串str = ace（必含有首字母a）子集的个数

int first = 1 << (str[0] - 'a');while (n > 0) {// 遍历origin 的所有字母组合，当n=0时终止遍历// 按位都是1才为1，否则为0，即n这个组合包含origin 的首字母// 而且n这个组合在map中有值，即有单词长n这样，值累加给res[i]if ((n & first) != 0 && map[n] > 0) {res[i] += map[n];}// n-1 AND puzzleBit，生成一个puzzleBit的新的子集合n = (n - 1) & puzzleBit;}

寻找数字x二进制表示中 1的个数

为了表述简洁，下文用「一比特数」表示二进制表示中的 11 的数目。

每个 int 型的数都可以用 32 位二进制数表示，只要遍历其二进制表示的每一位即可得到 1 的数目。

利用位运算的技巧，可以在一定程度上提升计算速度。按位与运算（&）的一个性质是：对于任意整数 x，

令 x=x&(x−1)，该运算将 x 的二进制表示的最后一个 1 变成 0。因此，对 x 重复该操作，直到 x 变成 0，则操作次数即为 x 的「一比特数」。

另外，部分编程语言有相应的内置函数，例如 Java 的 \Integer.bitCount，C++ 的 __builtin_popcount，Go 的 bits.OnesCount 等，读者可以自行尝试。

int countOnes(int x) {int ones = 0;while (x > 0) {x &= (x - 1);ones++;}return ones;}

常用位运算公式

a >> b & 1 代表检查 a 的第 b 位是否为 1，有两种可能性 0 或者 1a += 1 << b 代表将 a 的第 b 位设置为 1 (当第 b 位为 0 的时候适用)

如不想写对第 b 位为 0 的前置判断，a += 1 << b 也可以改成a |= 1 << b

PS. 1 的二进制就是最低位为 1，其他位为 0 哦；>>运算符 优先级 高于 &运算符哦

以上两个操作在位运算中使用频率超高，建议都加深理解。

题目示例

相关位运算题目详见此篇 博客