在实际生活中，我们经常遇到很多要预测的事情，其中很常见的就是对产品销量的预测，这对于防止产品供应不足或者产品滞销的情况是很有用的。我们要介绍的灰色-马尔可夫模型就是一个比较热门的预测模型，它的特点是：信息量较小，需要预测的信息较少，指数规律变化。
1.灰色预测模型
黑色表示未知，白色表示已知，灰色介于白色与黑色之间，与白色区域有联系，要推测出黑色区域的值，这就叫灰色预测模型。一般来说，白色区域给出的值没有什么规律可循，我们的第一步就是将没有规律的值造出规律来。设白色区域提供了n个值。
第一步：构建累加序列，累减序列，或者累次加权平均序列（相邻两个值取加权平均替代原序列，再构建累加序列）。
第二步：级比检验，考虑相邻两个值的比例，如果全都落在区间(e^-(2/(n+1)),e^(2/(n+1))）内，那么用灰色模型的效果就比较好。否则用平移变化修正数据，直到满足级比检验的条件。
第三步：对累加序列进行拟合，用指数函数拟合，采用最经典的最小二乘法。
第四步：用拟合的函数对黑色区域的累加序列值进行预测，最后还原回原本序列值。
在实际应用中，我们会发现灰色模型的拟合效果有时候不太好，特别是对于波动性数据和趋势性数据的拟合，差别与实际值较大，于是我们引入马尔可夫链对灰色模型进行改进。
注：上面的灰色模型是最常用的GM(1,1)模型，实际上就是含有一个变量的一阶微分方程，函数解出来就是指数形式，其他的预测可能有n个变量，我们用m阶微分方程解出的函数拟合，则称为GM(m,n)模型。
2.灰色-马尔可夫预测模型
在灰色模型的拟合效果不够好的时候，我们称其为未修正的灰色模型。修正的方法是建立残差绝对值序列并对正负号利用马尔科夫链进行完善。
第一步：建立残差绝对值序列（残差为原观测值与未修正灰色模型的差），然后把此序列视作原始的白色区域，再进行一次灰色模型预测，得到残差绝对值预测值。
第二步：考虑残差正负号，引入马尔科夫链。马尔科夫链上的值，仅取决于前一个值，而与其他值无关，所以我们只需要知道前一个值转移到后一个值的概率即可。这些概率所构成的矩阵叫做状态转移矩阵。在这里我们需要考虑的状态转移矩阵就是一个2*2的矩阵，规则如下：
这样就确定了预测的残差序列，可以对未修正的灰色模型进行修正。
最终的预测效果一般会比原始灰色模型好很多。
这就是本人对灰色-马尔可夫模型的理解，不足之处敬请指正~~~
