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1.过拟合
当样本特征很多，样本数相对较少时，模型容易陷入过拟合。为了缓解过拟合问题，有两种方法：
方法一：减少特征数量（人工选择重要特征来保留，会丢弃部分信息）。
方法二：正则化（减少特征参数的数量级）。
2.正则化（Regularization）
正则化是结构风险（损失函数+正则化项）最小化策略的体现，是在经验风险（平均损失函数）上加一个正则化项。正则化的作用就是选择经验风险和模型复杂度同时较小的模型。
防止过拟合的原理：正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，而经验风险负责最小化误差，使模型偏差尽可能小经验风险越小，模型越复杂，正则化项的值越大。要使正则化项也很小，那么模型复杂程度受到限制，因此就能有效地防止过拟合。
3.线性回归正则化
正则化一般具有如下形式的优化目标：
（1）
其中，是用来平衡正则化项和经验风险的系数。
正则化项可以是模型参数向量的范数，经常用的有范数，范数（范数：，范数:) 。
我们考虑最简单的线性回归模型。
给定数据集，其中，，。
代价函数为： （2）
（1）范数正则化（Ridge Regression，岭回归）
代价函数为：
（3）
（2）范数正则化（LASSO，Least Absoulute Shrinkage and Selection Operator，最小绝对收缩选择算子）
代价函数为：
（4）
（3）正则项正则项结合（Elastic Net）
代价函数为：
（5）
其中，范数正则化、范数正则化都有助于降低过拟合风险，范数通过对参数向量各元素平方和求平方根，使得范数最小，从而使得参数的各个元素接近0 ，但不等于0。而范数正则化比范数更易获得“稀疏”解，即范数正则化求得的会有更少的非零分量，所以范数可用于特征选择，而范数在参数规则化时经常用到（事实上，范数得到的“稀疏”解最多，但范数是中非零元素的个数，不连续，难以优化求解。因此常用范数来近似代替）。
为什么正则化更易获得“稀疏”解呢？
假设仅有两个属性，只有两个参数，绘制不带正则项的目标函数-平方误差项等值线，再绘制，范数等值线，如图1正则化后优化目标的解要在平方误差项和正则化项之间折中，即出现在图中等值线相交处采用。范数时，交点常出现在坐标轴上，即或为0;而采用范数时，交点常出现在某个象限中，即，均非0。也就是说，范数比范数更易获得“稀疏”解。
4.岭回归求解
岭回归不抛弃任何一个特征，缩小了回归系数。
岭回归求解与一般线性回归一致。
（1）如果采用梯度下降法：
（6）
迭代公式如下：
（7）
（2）如果采用正规方程：
最优解为：
（8）
最后，将学得的线性回归模型为：
（9）
5. LASSO回归求解
由于范数用的是绝对值，导致LASSO的优化目标不是连续可导的，也就是说，最小二乘法，梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法都不能用。
正则化问题求解可采用近端梯度下降法（Proximal Gradient Descent，PGD）。
（1）优化目标
优化目标为： （10）
若可导，梯度满足L-Lipschitz条件（利普希茨连续条件），即存在常数，使得：
（11）
L-Lipschitz（利普希茨连续条件）定义：
对于函数，若其任意定义域中的,都存在，使得，即对于上每对点，连接它们的线的斜率的绝对值总是不大于这个实数。
（2）泰勒展开
在处将进行二阶泰勒展开：
（12）
由（11）式，泰勒将展开式的二阶导用代替，得到：
（13）
（3）简化泰勒展开式
将（13）式化简：
（14）
其中，是无关的常数。
（4）简化优化问题
这里若通过梯度下降法对（连续可导）进行最小化，则每一步下降迭代实际上等价于最小化二次函数，推广到优化目标（10），可得到每一步迭代公式：
（15）
令，
则可以先求，再求解优化问题：
（16）
（5）求解
令为的第个分量，将（16）式按分量展开，其中不存在这样的项，即的各分量之间互不影响，所以（12）式有闭式解。
为什么（16）式不存在这样的项？
因为展开（16）式得到，
从而优化问题变为求解个独立的函数：。
对于上述优化问题需要用到soft thresholding软阈值函数（证明见参考文献2），即对于优化问题：
（17）
其解为： （18）
而我们的优化问题为（16）式，则得到闭式解为：
（19）
其中，与分别是与的第个分量。因此，通过PGD能使LASSO和其他基于范数最小化的方法得以快速求解。
参考文献：
1.《机器学习》第十一章嵌入式选择与L1正则化——周志华
2. LASSO回归与L1正则化西瓜书
3. 机器学习之正则化（正规化）
4. 正则化及正则化项的理解
