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正二十面体的顶点绘制棱绘制面正二十面体的顶点
正20面体的12个顶点刚好可以分为三组，每一组都是一个符合黄金分割比例的长方形，而且这三个长方形是互相正交的。
所以，想绘制一个正二十面体是比较容易的
import numpy as npfrom itertools import productG = (np.sqrt(5)-1)/2def getVertex():pt2 = [(a,b) for a,b in product([1,-1], [G, -G])]pts = [(a,b,0) for a,b in pt2]pts += [(0,a,b) for a,b in pt2]pts += [(b,0,a) for a,b in pt2]return np.array(pts)xs, ys zs = getVertex().Tax = plt.subplot(projection='3d')ax.scatter(xs, ys, zs)plt.show()
得到顶点
绘制棱
接下来将这些顶点连接成线，由于总共只有12个顶点，所以两两相连，也不至于导致运算量爆炸。另一方面，正二十面体的边长是相同的，而这些相同的边连接的也必然是最近的点，所以接下来只需建立顶点之间的距离矩阵，然后将距离最短的线抽出来即可。
def getDisMat(pts):N = len(pts)dMat = np.ones([N,N])*np.inffor i in range(N):for j in range(i):dMat[i,j] = np.linalg.norm([pts[i]-pts[j]])return dMatpts = getVertex()dMat = getDisMat(pts)# 由于存在舍入误差，所以得到的边的数值可能不唯一ix, jx = np.where((dMat-np.min(dMat))<0.01)
接下来，绘制正二十面体的棱
edges = [pts[[i,j]] for i,j in zip(ix, jx)]ax = plt.subplot(projection='3d')for pt in edges:ax.plot(*pt.T)plt.show()
效果如图所示
绘制面
当然，只是有棱还显得不太好看，接下来要对正二十面体的面进行上色。由于三条棱构成一个面，所以只需得到所有三条棱的组合，然后判定这三条棱是否可以组成一个三角形，就可以获取所有的三角面。当然，这一切的前提是，正二十面体只有30个棱，即使遍历多次，也无非27k的计算量，是完全没问题的。
def isFace(e1, e2, e3):pts = np.vstack([e1, e2, e3])pts = np.unique(pts, axis=0)return len(pts)==3from itertools import combinationsfaces = [es for es in combinations(edges, 3) if isFace(*es)]
接下来绘制一下
ax = plt.subplot(projection='3d')for f in faces:pt = np.unique(np.vstack(f), axis=0)try:ax.plot_trisurf(*pt.T)except:passplt.show()
如图所示
由于plot_trisurf的画图逻辑是，先绘制xy坐标系上的三角形，然后再以此为三角形建立z轴坐标。所以这会导致一个Bug，即所绘制的三角面不能垂直于xy坐标系，为了让正二十面体被完整地绘制出来，可以对其绕着x和y轴旋转一下，当然首先要建立一个旋转矩阵。三维空间中的旋转矩阵如下表所示。详情可参考博客：Python动态演示旋转矩阵的作用
写成代码为
# 将角度转弧度后再求余弦cos = lambda th : np.cos(np.deg2rad(th))sin = lambda th : np.sin(np.deg2rad(th))# 即 Rx(th) => MatrixRx = lambda th : np.array([[1, 0, 0],[0, cos(th), -sin(th)],[0, sin(th), cos(th)]])Ry = lambda th : np.array([[cos(th), 0, sin(th)],[0, 1, 0],[-sin(th), 0, cos(th)]])
然后绘图函数
ax = plt.subplot(projection='3d')for f in faces:pt = np.unique(np.vstack(f), axis=0)pt = Rx(1)@Ry(1)@pt.Tax.plot_trisurf(*pt)for pt in edges:pt = Rx(1)@Ry(1)@pt.Tax.plot(*pt, lw=2, color='blue')plt.show()
效果如下
