数据结构与算法：41 |动态规划理论：最优子结构 无后效性和重复子问题

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一个模型三个特征理论讲解1. 最优子结构2. 无后效性3. 重复子问题 一个模型三个特征实例剖析两种动态规划解题思路总结1. 状态转移表法2. 状态转移方程法 四种算法思想比较分析课后思考

一个模型三个特征理论讲解

动态规划能解决的问题有什么规律可循呢？实际上，动态规划作为一个非常成熟的算法思想，很多人对此已经做了非常全面的总结。我把这部分理论总结为“一个模型三个特征”。

首先，什么是“一个模型”？它指的是动态规划适合解决的问题的模型。我把这个模型定义为“多阶段决策最优解模型”。

我们一般是用动态规划来解决最优问题。而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。

再来看，什么是“三个特征”？它们分别是最优子结构、无后效性和重复子问题。

1. 最优子结构

最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来就是，可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。如果把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。

2. 无后效性

无后效性有两层含义：

第一层，在推导后面阶段状态的时候，只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的第二层，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。

无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性。

3. 重复子问题

这个概念比较好理解。用一句话概括就是，不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。

一个模型三个特征实例剖析

假设我们有一个 n 乘以 n 的矩阵w[n][n]。矩阵存储的都是正整数。棋子起始位置在左上角，终止位置在右下角。我们将棋子从左上角移动到右下角。每次只能向右或者向下移动一位。从左上角到右下角，会有很多不同的路径可以走。我们把每条路径经过的数字加起来看作路径的长度。那从左上角移动到右下角的最短路径长度是多少呢？

这个问题是否符合“一个模型”？

从 (0, 0) 走到 (n-1, n-1)，总共要走 2*(n-1) 步，也就对应着 2*(n-1) 个阶段。每个阶段都有向右走或者向下走两种决策，并且每个阶段都会对应一个状态集合。

我们把状态定义为 min_dist(i, j)，其中 i 表示行，j 表示列。min_dist 表达式的值表示从 (0, 0) 到达 (i, j) 的最短路径长度。所以，这个问题是一个多阶段决策最优解问题，符合动态规划的模型。

如果走到 (i, j) 这个位置，只能通过 (i-1, j)，(i, j-1) 这两个位置移动过来。也就是说，想要计算 (i, j) 位置对应的状态，只需要关心 (i-1, j)，(i, j-1) 两个位置对应的状态，并不关心棋子是通过什么样的路线到达这两个位置的。而且，仅仅允许往下和往右移动，不允许后退，所以，前面阶段的状态确定之后，不会被后面阶段的决策所改变，所以，这个问题符合“无后效性”这一特征。

刚刚定义状态的时候，把从起始位置 (0, 0) 到 (i, j) 的最小路径，记作 min_dist(i, j)。因为只能往右或往下移动，所以，我们只有可能从 (i, j-1) 或者 (i-1, j) 两个位置到达 (i, j)。也就是说，到达 (i, j) 的最短路径要么经过 (i, j-1)，要么经过 (i-1, j)，而且到达 (i, j) 的最短路径肯定包含到达这两个位置的最短路径之一。换句话说就是，min_dist(i, j) 可以通过 min_dist(i, j-1) 和 min_dist(i-1, j) 两个状态推导出来。这就说明，这个问题符合“最优子结构”。

min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))

这个例子可以看：

leetcode 第 64 题：最小路径和(C++)_zj-CSDN博客

两种动态规划解题思路总结

动态规划问题，一般有两种思路。分别叫作，状态转移表法和状态转移方程法。

1. 状态转移表法

一般能用动态规划解决的问题，都可以使用回溯算法的暴力搜索解决。所以，当拿到问题的时候，我们可以先用简单的回溯算法解决，然后定义状态，每个状态表示一个节点，然后对应画出递归树。从递归树中，很容易可以看出来，是否存在重复子问题，以及重复子问题是如何产生的。以此来寻找规律，看是否能用动态规划解决。

找到重复子问题之后，接下来有两种处理思路，第一种是直接用回溯加“备忘录”的方法，来避免重复子问题。从执行效率上来讲，这跟动态规划的解决思路没有差别。第二种是使用动态规划的解决方法，状态转移表法。重点来看状态转移表法是如何工作的。

先画出一个状态表，状态表一般都是二维的，所以可以把它想象成二维数组。其中，每个状态包含三个变量，行、列、数组值。根据决策的先后过程，从前往后，根据递推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了。

尽管大部分状态表都是二维的，但如果问题的状态比较复杂，需要很多变量来表示，那对应的状态表可能就是高维的，比如三维、四维。那这个时候，就不适合用状态转移表法来解决了。一方面是因为高维状态转移表不好画图表示，另一方面是因为人脑确实很不擅长思考高维的东西。

现在，我们来看一下，如何套用这个状态转移表法，来解决之前那个矩阵最短路径的问题？

从起点到终点，有很多种不同的走法。我们可以穷举所有走法，然后对比找出一个最短走法。不过如何才能无重复又不遗漏地穷举出所有走法呢？我们可以用回溯算法这个比较有规律的穷举算法。

回溯算法的代码：

private int minDist = Integer.MAX_VALUE; // 全局变量或者成员变量// 调用方式：minDistBacktracing(0, 0, 0, w, n);public void minDistBT(int i, int j, int dist, int[][] w, int n) {// 到达了n-1, n-1这个位置了，这里看着有点奇怪哈，你自己举个例子看下if (i == n && j == n) {if (dist < minDist) minDist = dist;return;}if (i < n) { // 往下走，更新i=i+1, j=jminDistBT(i + 1, j, dist+w[i][j], w, n);}if (j < n) { // 往右走，更新i=i, j=j+1minDistBT(i, j+1, dist+w[i][j], w, n);}}

有了回溯代码之后，接下来要画出递归树，以此来寻找重复子问题。在递归树中，一个状态（也就是一个节点）包含三个变量 (i, j, dist)，其中 i，j 分别表示行和列，dist 表示从起点到达 (i, j) 的路径长度。从图中可以看出，尽管 (i, j, dist) 不存在重复的，但是 (i, j) 重复的有很多。对于 (i, j) 重复的节点，只需要选择 dist 最小的节点，继续递归求解，其他节点就可以舍弃了。

既然存在重复子问题，就可以尝试看下，是否可以用动态规划来解决呢？

画出一个二维状态表，表中的行、列表示棋子所在的位置，表中的数值表示从起点到这个位置的最短路径。按照决策过程，通过不断状态递推演进，将状态表填好。为了方便代码实现，我们按行来进行依次填充：

弄懂了填表的过程，代码实现就简单多了。将上面的过程，翻译成代码，就是下面这个样子。结合着代码、图和文字描述，应该更容易理解。

public int minDistDP(int[][] matrix, int n) {int[][] states = new int[n][n];int sum = 0;for (int j = 0; j < n; ++j) { // 初始化states的第一行数据sum += matrix[0][j];states[0][j] = sum;}sum = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化states的第一列数据sum += matrix[i][0];states[i][0] = sum;}for (int i = 1; i < n; ++i) {for (int j = 1; j < n; ++j) {states[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(states[i][j-1], states[i-1][j]);}}return states[n-1][n-1];}

2. 状态转移方程法

状态转移方程法有点类似递归的解题思路。

我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程，代码实现就非常简单了。一般情况下，有两种代码实现方法，一种是递归加“备忘录”，另一种是迭代递推。

还是拿刚才的例子来举例，把状态转移方程放到这里：

min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))

强调一下，状态转移方程是解决动态规划的关键。如果能写出状态转移方程，那动态规划问题基本上就解决一大半，而翻译成代码非常简单。但是很多动态规划问题的状态本身就不好定义，状态转移方程也就更不好想到。

下面用递归加“备忘录”的方式，将状态转移方程翻译成来代码，你可以看看。对于另一种实现方式，跟状态转移表法的代码实现是一样的，只是思路不同。

private int[][] matrix = {{1，3，5，9}, {2，1，3，4}，{5，2，6，7}，{6，8，4，3}};private int n = 4;private int[][] mem = new int[4][4];public int minDist(int i, int j) { // 调用minDist(n-1, n-1);if (i == 0 && j == 0) return matrix[0][0];if (mem[i][j] > 0) return mem[i][j];int minLeft = Integer.MAX_VALUE;if (j-1 >= 0) {minLeft = minDist(i, j-1);}int minUp = Integer.MAX_VALUE;if (i-1 >= 0) {minUp = minDist(i-1, j);}int currMinDist = matrix[i][j] + Math.min(minLeft, minUp);mem[i][j] = currMinDist;return currMinDist;}

四种算法思想比较分析

贪心、分治、回溯和动态规划，它们之间有什么区别和联系？

如果将这四种算法思想分类，那贪心、回溯、动态规划可以归为一类，而分治单独可以作为一类，因为它跟其他三个都不大一样。为什么这么说呢？前三个算法解决问题的模型，都可以抽象成今天讲的多阶段决策最优解模型，而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但大部分都不能抽象成多阶段决策模型。

回溯算法是“万金油”。基本上能用的动态规划、贪心解决的问题，都可以用回溯算法解决。回溯算法相当于穷举搜索。穷举所有的情况，然后对比得到最优解。不过，回溯算法的时间复杂度非常高，是指数级的，只能用来解决小规模数据的问题。

尽管动态规划比回溯算法高效，但并不是所有问题，都可以用动态规划来解决。能用动态规划解决的问题，需要满足三个特征，最优子结构、无后效性和重复子问题。在重复子问题这一点上，动态规划和分治算法的区分非常明显。分治算法要求分割成的子问题，不能有重复子问题，而动态规划正好相反，动态规划之所以高效，就是因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题。

贪心算法实际上是动态规划算法的一种特殊情况。它解决问题起来更加高效，代码实现也更加简洁。不过，它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件，最优子结构、无后效性和贪心选择性（这里我们不怎么强调重复子问题）。

其中，最优子结构、无后效性跟动态规划中的无异。“贪心选择性”的意思是，通过局部最优的选择，能产生全局的最优选择。每一个阶段，都选择当前看起来最优的决策，所有阶段的决策完成之后，最终由这些局部最优解构成全局最优解。

课后思考

硬币找零问题，在贪心算法那一节中讲过一次。今天来看一个新的硬币找零问题。假设有几种不同币值的硬币 v1，v2，……，vn（单位是元）。如果我们要支付 w 元，求最少需要多少个硬币。比如有 3 种不同的硬币，1 元、3 元、5 元，我们要支付 9 元，最少需要 3 个硬币（3 个 3 元的硬币）。

可以看做阶梯问题，分别可以走1、3、步，怎么最少走到9步，状态转移方程为：f(9)=1+min(f(8),f(6),f(4))