三种方法求解Fibonacci(斐波那契)数列
（一）
所谓Fibonacci数列是指这样一种数列，它的前两项均为1，从第三项开始各项均为前两项之和。用数学公式表示出来就是：
1 (n=1,2)
fib(n)=
fib(n-1)+fib(n-2) (n>2)
可以证明斐波那契数列的通项公式为fib(n) = [(1＋√5)/2]^n /√5 － [(1－√5)/2]^n /√5 (n=1,2,3.....）,关于斐波那契数列的详细介绍请参阅百度百科。
下面我将介绍三种比较常用的求解第n项斐波那契数列的方法：递归法、迭代法、通项公式法。
1、递归法
这种方法的优点是简洁和容易理解，缺点是时间复杂度太大，随着n的增大，运算时间将会急剧增加。因此在很多场合这种方法是不可取的。
使用这种方法的关键代码是：
if(n == 1|| n== 2)
{
return 1;
}
else
{
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
2、表驱动的递归法
这里不提纯粹的表驱动法，因为对于项数未知的Fibonacci数列开启大片的空间来换取时间未免不值得且不负责。我们只是为了消除递归法中大量重复的运算，可以将已经计算过的中间值存入一个表，已备后续使用：
#define MAX_LOG 20
static unsigned long Logs[MAX_LOG] = {0};
unsigned long Fib(int n)
{
if (n <= 1) {
return n;
} else if (n < MAX_LOG && Logs[n] != 0) {
return Logs[n];
} else {
Logs[n] = Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
return Logs[n];
}
}
（二）
当n小于保存的表长时，由于每个中间值只计算一次，时间复杂度降为O(n)。但随着n的增大，要想维持O(n)的时间复杂度，就必须扩大保存的表长，这就造成了存储空间的浪费。
3、迭代法
这种方法相对于递归法来说在时间复杂度上减小了不少，但代码相对就要复杂些了。它的思想是这样的，假设开始时f0=1,f1=1,currentFib表示当前斐波那契数，则：
for(i = 1;i < n;i++)
{
currentFib = f0 + f1;
f0 = f1;
f1 = currentFib;
}
这样迭代结束和currentFib就是fib(n)了。
4、转移矩阵法。此方法通常见于线性代数中的Markov过程示例。Fibonacci数列第n项与第n-1项可以通过转移矩阵的n-1次迭代求出：
function y = Fib(n)
first = [1; 0];
trans = [1 1; 1 0];
last = trans ^ (n - 1) * first;
y = last(1, 1);
end
此算法的时间复杂度相当于计算矩阵乘方的时间复杂度。在计算2阶矩阵n次方时，如果直接按矩阵乘法定义式展开，不加特别优化，其时间复杂度为O(n)。
5、通项公式法
这种方法是最没技术含量的方法，只要你知道通项公式照着把它翻译成编程语言就可以了，优点不言而喻。function y = Fib(n)
sr5 = sqrt(5);
y = uint32((((1 + sr5) / 2) ^ n - ((1 - sr5) / 2) ^ n) / sr5);
end
该方法的时间复杂度貌似为O(1)，但我们还应该考虑乘方运算的时间消耗。不加特别优化时，用乘法实现n次乘方的时间复杂度为O(n)。考虑到浮点数计算效率和精度问题，此方法在计算机实现时不如转移矩阵法。
