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基本规则

代换规则

代换规则（Replacement）：

任何含有变量X的逻辑等式，若将所有出现变量X的地方都用另一逻辑表达式Y代换，则等式仍然成立。使用代换规则时，要将等式两边所有出现被代替变量X的地方均代入同一表达式，否则等式不成立。

这是三个规则中最简单直白的一个，就不浪费时间和版面了

对偶规则

对偶规则（Dual）：

对任意逻辑函数 F = f ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) F=f(X_1,X_2,...,X_n) F=f(X1​,X2​,...,Xn​)，只要对它的表达式中所有的逻辑常量 1 与 0 对换，逻辑符号 + 与 • 对换，并保持原函数变量之间的运算顺序不变，得到的新函数就是原函数 F F F的对偶函数 F ∗ F^* F∗。原函数所具有的一切性质，对偶函数同样具备。

若两个函数 F F F和 G G G相等，即 F = G F=G F=G，则它们的对偶函数也相等，即 F ∗ = G ∗ F^*=G^* F∗=G∗

注意：

必须对所有的逻辑常量和逻辑符号进行变换，当然也只需要对逻辑常量和逻辑符号进行变换必须保持原函数变量之间的运算顺序，必要时可使用运算顺序不变对偶函数与原函数是一个完全不同的函数，只是形式上对偶

∞ex1 证明反演律推论 A ⋅ B ⋅ C ‾ = A ‾ + B ‾ + C ‾ \overline{A \cdot B \cdot C}=\overline A+\overline B+\overline C A⋅B⋅C=A+B+C

根据反演率推论有

A + B + C ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ ⋅ C ‾ \overline{A + B + C}=\overline A \cdot \overline B \cdot \overline C A+B+C​=A⋅B⋅C

函数 F = A + B + C ‾ F=\overline{A + B + C} F=A+B+C​的对偶函数

F ∗ = A ⋅ B ⋅ C ‾ F^*=\overline{A \cdot B \cdot C} F∗=A⋅B⋅C

函数 G = A ‾ ⋅ B ‾ ⋅ C ‾ G=\overline A \cdot \overline B \cdot \overline C G=A⋅B⋅C的对偶函数

G ∗ = A ‾ + B ‾ + C ‾ G^*=\overline A + \overline B + \overline C G∗=A+B+C

根据对偶规则得到新等式 F ∗ = G ∗ F^*=G^* F∗=G∗，则

A + B + C ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ ⋅ C ‾ \overline{A + B + C}=\overline A \cdot \overline B \cdot \overline C A+B+C​=A⋅B⋅C

∞ex2 求函数 F = A B + C ‾ D F=AB+\overline CD F=AB+CD的对偶函数

注意原式的运算顺序

F ∗ = ( A + B ) ( C ‾ + D ) F^*=(A+B)(\overline C +D) F∗=(A+B)(C+D)

∞ex3 证明吸收律推论 A ⋅ ( A + B + C ) = A A \cdot (A+B+C)=A A⋅(A+B+C)=A

根据吸收律推论有：

A + A B C = A A+ABC=A A+ABC=A

函数 F = A + A B C F=A+ABC F=A+ABC的对偶函数为

F ∗ = A ( A + B + C ) F^*=A(A+B+C) F∗=A(A+B+C)

函数 G = A G=A G=A的对偶函数为

G ∗ = A G^*=A G∗=A

根据对偶规则得到新等式 F ∗ = G ∗ F^*=G^* F∗=G∗，则

A ( A + B + C ) = A A(A+B+C)=A A(A+B+C)=A

反演规则

反演规则（Invert）：

对任何逻辑函数 F = f ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) F=f(X_1,X_2,...,X_n) F=f(X1​,X2​,...,Xn​)，只要将表达式中所有的逻辑常量 0 与 1 对换，逻辑符号 + 与 • 对换，逻辑变量 X i X_i Xi​与 X i ‾ \overline {X_i} Xi​​之间互换，并保持原函数变量之间的运算顺序不变，得到的新逻辑表达式是就是原函数 F F F的反函数 F ‾ \overline F F。

必须对所有的逻辑常量，逻辑符号和逻辑变量进行变换必须保持原函数变量之间的运算顺序，必要时可添加括号以保证运算顺序不变注意区分非运算和反变量。在反演时， X X X与 X i ‾ \overline {X_i} Xi​​之间的互换只对逻辑变量与反变量有效（对单个变量，而不是两部分的取反运算），而非运算保留反函数不是一个新的函数，是原函数的反

∞ex3 求函数 F = A ⋅ B ‾ + C ‾ ( D + A ) F=\overline {A \cdot B}+\overline C(D+A) F=A⋅B+C(D+A)的反

A ⋅ B ‾ \overline {A \cdot B} A⋅B是非运算， C ‾ \overline C C是反变量

在反演时，非运算保留，而变量取反

F ‾ = ( A ‾ + B ‾ ‾ ) ⋅ ( C + D ‾ ⋅ A ‾ ) \overline F=(\overline{\overline A +\overline B}) \cdot (C+\overline D \cdot \overline A) F=(A+B​)⋅(C+D⋅A)

我们要注意区分对偶函数和反函数：

两者的演化规则不一样，反演规则中逻辑变量需要原变量与反变量的互换，而对偶规则不需要函数的逻辑意义不一样，反演规则中，反函数 F ‾ \overline F F是原函数 F F F的补，符合互补律 F + F ‾ = 1 F+\overline F=1 F+F=1；而对偶规则中，原函数 F F F和对偶函数 F ∗ F^* F∗是两个相互独立的函数，只是形式上对偶

常用公式

并项法

A B + A B ‾ = A AB+A \overline B=A AB+AB=A

证明： A B + A B ‾ = A ( B + B ‾ ) = A ⋅ 1 = A AB+A \overline B=A(B+ \overline B)=A \cdot 1=A AB+AB=A(B+B)=A⋅1=A

逻辑函数中，逻辑表达式中的两个与项，只有一部分互补，剩余部分完全相同，则称这两个与项是 " 相邻 " 的。相邻两项可以合并成一项，消掉互补的因子。

推论（对偶规则）：

( A + B ) ⋅ ( A + B ‾ ) = A (A+B) \cdot (A+ \overline B)=A (A+B)⋅(A+B)=A

消冗余因子公式

A + A ‾ B = A + B A+\overline AB=A+B A+AB=A+B

证明： A + A ‾ B = ( A + A ‾ ) ⋅ ( A + B ) A+\overline AB=(A+\overline A) \cdot (A+B) A+AB=(A+A)⋅(A+B)

= A A + A B + A ‾ A + A ‾ B = A + A B + 0 + A ‾ B =AA+AB+\overline AA+\overline AB=A+AB+0+\overline AB =AA+AB+AA+AB=A+AB+0+AB

= A ( 1 + B ) + A ‾ B = A + A ‾ B =A(1+B)+\overline AB=A+\overline AB =A(1+B)+AB=A+AB

= 1 ⋅ ( A + B ) = A + B =1 \cdot(A+B)=A+B =1⋅(A+B)=A+B

在逻辑表达式中，如果与项的一个因子恰好与两一个与项互补，则该因子是冗余的，可以消去。

推论（对偶规则）：

A ⋅ ( A ‾ + B ) = A ⋅ B A \cdot (\overline A+B)=A \cdot B A⋅(A+B)=A⋅B

证明： A ⋅ ( A ‾ + B ) = A ⋅ A ‾ + A ⋅ B = 0 + A ⋅ B = A ⋅ B A \cdot (\overline A+B)=A \cdot \overline A+A \cdot B=0+A \cdot B=A \cdot B A⋅(A+B)=A⋅A+A⋅B=0+A⋅B=A⋅B

消冗余项公式

A B + A ‾ C + B C = A B + A ‾ C AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC AB+AC+BC=AB+AC

证明： A B + A ‾ C + B C = A B + A ‾ C + ( A + A ‾ ) B C AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC+(A+\overline A)BC AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC

= A B + A ‾ C + A B C + A ‾ B C = A B ( 1 + C ) + A ‾ C ( 1 + B ) = A B + A ‾ C =AB+\overline AC+ABC+\overline ABC=AB(1+C)+\overline AC(1+B)=AB+\overline AC =AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC

在逻辑表达式中，如果两个与项有一个因子互补，而第三个与项恰好是这两个与项中剩余不互补的全体因子的乘积，则第三项是冗余的，可以消去。

推论：

A B + A ‾ C + B C D = A B + A ‾ C AB+\overline AC+BCD=AB+ \overline AC AB+AC+BCD=AB+AC

推论（对偶规则）：

( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) (A+B)(\overline A+C)(B+C)=(A+B)(\overline A+C) (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)

Tip

考虑合并同类项，实现第一步化简找到所有的互补项，分别标记出来观察与互补项搭配的部分： 单个搭配： A + A ‾ B = A + B A+\overline AB=A+B A+AB=A+B 消冗余因子公式搭配相同因子： A B + A ‾ B = B AB+\overline AB=B AB+AB=B 并项公式搭配不同因子，且还有因子与项： A B + A ‾ C + B C D = A B + A ‾ C AB+\overline AC+BCD=AB+ \overline AC AB+AC+BCD=AB+AC 消冗余项公式