漫步微积分三十——定积分的性质

代数和几何面积

在前面的章节我们考虑了曲线y=f(x)下方和x=a,x−b之间围成区域的面积，还有两个假设分别是(1)f(x)≥0;(2)a<b。然而通过逼近和的极限来定义定积分的公式即

∫baf(x)dx=limmaxΔxk→∞∑k=1nf(x∗k)Δxk(1)

不依赖于这两个假设。

例如，假设曲线位于x轴下方，如图1左边所示。在这种情况下，我们会质疑说曲线下边的区域，但我们肯定可以用曲线，x轴在x=a,x=b围成的区域来描述他。(1)中的每一项显然是负的因为f(x∗k)<0。因此，f(x∗k)<0Δxk是阴影矩形面积负值，该区域面积的积分是负值，因此

areaoftheregion=−∫baf(x)dx

同样，如果曲线部分在x轴上部，部分在下部，如图1右所示，那么积分(1)可以看做正项和负项的和，对应与x轴上面和下面的部分：

∫baf(x)dx=A1−A2+A3−A4(2)

其中面积A1,A2,A3,A4都是正的。积分(2)经常称作区域的代数面积，因为在计算面积是，位于x轴上方的取正，位于下方的取负。如果每部分都取正数的话，得到的是几何面积：

A1+A2+A3+A4=∫ca−∫dc+∫ed−∫be(3)

为了求出几何面积，我们必须画出图像，得到交点然后分别计算(3)右边的每个积分，这样的话就能得到正确的符号组合。

图1

其他性质

如果我们去掉条件a<b而用相反的假定a>b，我们仍然可以保留定积分的纯数字定义(l)。因为我们从a到b遍历区间，所以增量Δx∗k为负，这是唯一的变化。由此得到方程

∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx(4)

对于所有的a,b(a≠b)都是成立的。另外，因为(4)表明交换积分的上下限会改变积分的符号，所以很自然得出

∫aaf(x)dx=0(5)

如果a<b，c是a,b间的任何一个数，根据(1)很容易得到

∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx(6)

性质(4)(5)告诉我们(6)对任意的三个数a,b,c都成立，不管他们互相之间是否存在关系。

根据定义(1)，我们进一步列出了一些定积分的性质：

∫bacf(x)dx∫ba[f(x)+g(x)]dxiff(x)≤g(x)on[a,b],=c∫baf(x)dx=∫baf(x)dx+∫bag(x)dxthen∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx(7)(8)(9)

换句话说，性质(7)表示常数因子可以移到积分符号外边，(8)表示和的积分等于单个积分的和。

变积分限

在书写定积分时，我们将x作为积分变量

∫baf(x)dx(10)

然而，(10)是一个固定的数，其值并不取决于用哪个字母来表示变量。除了(10)，我们同样可以写为

∫baf(t)dt∫baf(u)du

或任何类似的表达式，其意义都是一样的。用这种方式表示的字母通常被称为虚拟变量。

在大多数情况下，使用什么字母都无所谓，只要想法理解清楚就行。然而，有时我们想要通过积分给定的函数f(x)来构建一个新函数F(x)，积分下限为a，上限是一个变量，如下所示

F(x)=∫xaf(x)dx(11)

很明显这种用法可能会造成混淆，因为右边的字母x有两种不同的含义：积分上限，虚拟变量。为此，习惯上，我们将(11)写成以下形式

F(x)=∫xaf(t)dt(12)

将t作为虚拟变量代替x

(12)定义的函数F(x)具有两个重要的性质。首先，只要被积函数是在a,x区间上是连续的，那么积分肯定存在。第二，此函数的导数是被积函数上限的值：

ddxF(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)(13)

对于任何给定的连续函数f(x)，为了找出不定积分，它提供了令人满意的理论解。作为一个实际的问题，可能很难(甚至是不可能)用任何熟悉的函数来计算

∫f(x)dx=F(x)

但是，即使我们找不到F(x)的公式，至少我们知道，原则上连续函数的不定积分总是存在的，即(12)定义的函数。

例1：找出下面不定积分问题的一个显式公式

∫dxx10+1−−−−−−√3=F(x)

现在我们无法解决，并且将永远无法解决。然而，如果我们不需要一个显式公式，而只是一个定义良好的函数，那么

F(x)=∫x0dtt10+1−−−−−√3

就满足条件。

例2：让我们试着计算

ddx(∫x0dt1+t2)

目前这个阶段，我们无法找出一个可导的函数来表示括号内的积分。但这并不重要。根据(13)，我们立即得到

ddx(∫x0dt1+t2)=11+x2

因此在求导可以解决的时候下，没必要一定先求积分。