参考书籍《概率论与数理统计教程》第二版 茆诗松 等
共有四种基本的排列组合:
排列(有序,无放回)重复排列(有序,有放回)组合(无序,无放回)重复组合(无序,有放回)
前三种的计算公式比较容易理解,最后一种的计算公式,书中借助示意图,从组合(第三种)的角度得到计算公式。
先用示意图表示:某一次选取r个元素的结果
示意图符号:
圆圈(“0”) 表示元素被选取竖线(“1”)表示不同元素的分割
选取结果是:
第一个元素:被选取2次(两个圈)
第二个元素:没有被选择(没有圈)
第三个元素:被选择1次(一个圈)
……
第n个元素:被选择3次(三个圈)
也就是图中的“竖线”(“1”)有n+1个,“圆圈”(“0”) 有r个。
然后,从这个图示转换组合的计算方式,就是除了两端的“竖线”,其中的r个圈可以在中间的位置上随意放。
那么,中间的位置是哪些位置?图中,放了n+1个竖线和r个圆圈,去掉两端的竖线(不可移动),共有:(n+1)+r-2=n+r-1个位置。
这就直接转换成,从n+r-1个位置上,选取r个放圆圈的位置了(无序无放回的组合)。或者是,从n+r-1个位置上,选取n-1个位置放竖线。