一、关联物体的速度关系
学生常对该如何分解速度搞不清楚或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度.这里有一个简单的方法：物体的实际运动速度就是合速度，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度及分速度的方向.
图1
例1 A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图1所示.物体B的运动速度vB为（绳始终有拉力） （ ）
图2
解析 A、B两物体通过绳相连接，且两物体都是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果.设物体B的运动速度为vB，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为 v绳B；垂直绳方向的圆周运动.速度分解如图 2所示，则有：v绳B=vBcosβ.
物体A的合运动速度为v1，它也产生两个运动效果，分别是：沿绳方向的分运动，设其速度为 v绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图 3所示，则有：v绳A=v1cosα，由于对于同一根绳，其长度不变，故有：v绳B
选项D正确.
图3
例2 如图4所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦，当杆滑到如图5位置时，B球水平速度为vB，杆与竖直方向的夹角为α，求此时A球速度大小.
图4
图5
解析 A、B两球速度分解如图5所示，A球沿杆方向的分速度与B球沿杆方向的分速度大小相等，即：vAcosα=vBcos（90°
例3 如图6所示，一根长为 L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，
图6轻杆靠在一个高为h的物块上.若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是 （ ）
A.A、B的线速度相同
B.A、B的角速度相同
图7
解析
如图7所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度vB=v沿垂直于杆和沿杆的方向分解为v2和v1，其中v2=vBsinθ=vsinθ为B点做圆周运动的线速度，v1=vBcosθ为B点沿杆运动的速度.当杆与水平方向夹角为θ时，
A、B两点都围绕 O点做圆周运动，角速度ω相同，由于转动半径不一样，故A、B两点的线速度不相同，选项A错误，选项B正确；B点的线速度为：v2=vsinθ
项D错误.
二、与能量相关的关联问题
例4 如图8所示，竖直放置的大圆环圆心为O，半径为R，质量为m的小球A套在大圆环上，有一足够长的细轻绳拴在A上，另一端跨过固定在大圆环最高点C处的一个小滑轮后吊着一个小球B，不计滑轮半径和质量、不计绳子的质量，不计一切摩擦，绳子不可伸长.平衡时弦CA所对的圆心角θ=30°.求：
（1）小球B质量mB；
（2）若mB=m，将小球A从圆心O的等高点D静止释放后小球A、B轨道稍微错开互不影响，求小球A的最大速度vAm.（可含根式）
图8
解析 （1）小球B处于平衡状态，绳子对小球B的拉力等于小球B的重力，绳子的拉力为：T=mBg
小球A处于平衡状态，受到三个力的作用，由平衡条件可得，绳子的拉力为：
mg，联立解得：
（2）A到达最低点时为速度最大设为vAm，此时小球B到达最高点，即vB=0，由动能定理得：
例5 如图9所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，杆上P处固定一定滑轮（大小不计），滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套一质量m=3kg的滑块A.半径R=0.3m的光滑半圆形轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m=3kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来.杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块和小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响.现给滑块A施加一个水平向右、大小为60N的恒力F，求：
（1）把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做的功；
（2）小球B运动到C处时所受的向心力的大小；
（3）小球B被拉到离地多高时滑块A与小球B的速度大小相等？
图9
解析 （1）由几何关系可得：PB=
力F做功为：W=F·（PB-PC）
代入数据联立解得：W=24J
（2）由于B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，两球及绳子组成的系统的能量变化过程中，由能量守恒定律可得：
mv2+mgR，代入数据联立
根据向心力计算公式F=
例6 如图10所示，两根长直轨道与一半径为R的半圆形圆弧轨道相接于 A、C两点，B点为轨道最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内.质量均为m的两小环P、Q用长为
R的轻杆连接在一起，套在轨道上.将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能ΔEp；
（2）当P环运动到B点时的速度v；
（3）在运动过程中，P环能达到的最大速度vm；
图10
（4）若将杆换成长
由静止释放，经过半圆形底部再次上升后，P环能达到的最大高度H.
解析 （1）P环从开始运动到运动到B点过程中，系统减少的重力势能为：
（2）AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等（或通过速度分解得到两环速度大小相同）.根据系统的机械能守恒得：
（3）当系统质心下降到最低处时，系统达到的速度最大，设此时MN离O点竖直高度为h1，OQ连线与OA的夹角为α，由几何
根据系统的机械能守恒得：
（4）由于杆长超过了半圆直径，所以两环运动如图11所示.
图11
M再次上升后，设位置比原来高h2，如图12所示.
根据系统的机械能守
2R-h2）=0
图12
解得：
M能达到的最大高度为
在解决关联物体的问题时，首先要清楚物体间是通过绳、杆关联还是直接接触的，找到两物体在运动过程中速度存在的关系，分析物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，在绳和杆不伸长的情况下，两物体沿绳或杆方向的分速度大小相同.
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