小学数学是孩子们学习数学的起点，也是他们对数学概念和基本技能的初次接触。在这个阶段，数学公式作为解决问题的工具非常重要。通过掌握数学公式，孩子们能够更加有条理地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力。下面是小编整理的小学数学公式大全完整版，仅供大家参考。
文章目录
小学数学公式大全完整版
小学小学数学概念和定理
小学数学策略与方法
小学数学题型分类
小学数学易错题集锦
小学数学公式大全完整版
一、小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式：
长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2
正方形的周长=边长×4 C=4a
长方形的面积=长×宽 S=ab
正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
平行四边形的面积=底×高 S=ah
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
圆的面积=圆周率×半径×半径
三角形的面积＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2
正方形的面积＝边长×边长 公式 S= a×a
长方形的面积＝长×宽 公式 S= a×b
平行四边形的面积＝底×高 公式 S= a×h
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2
内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=abh
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 公式：V=aaa
圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr
圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2
圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh
圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh
分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
二、单位换算
（1）1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米
（2）1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米
（3）1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米
（4）1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤 = 2市斤
（5）1公顷＝10000平方米 1亩＝666.666平方米
（6）1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米
（7）1元=10角1角=10分1元=100分
（8）1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒
三、数量关系计算公式方面
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
四、算术方面
1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第
三个数相加，和不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。
6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。
7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
五、特殊问题
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
（2）如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
（1）一般公式：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－5%)
工程问题
（1）一般公式：
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间
小学小学数学概念和定理
小学数学必背定义定理公式 一．分数乘法概念总结
1.分数乘法整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的的简便运算。
例如：×5的意义是：表示求5个的和事多少。
2.分数乘法整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。（为了计算简便，能约分的要约分，然后再相乘。）
3.一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几时多少。
4.例如：5×的意义是：表示求5的是多少
5.4.分数乘分数计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘分母的积做分母。（为了计算简便，能约分的要约分，然后再相乘。）
5．乘积是1的两个数互为倒数。
6.求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子，分母调换位置。（1的倒数是1，0没有倒数）真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；注意：倒数必须是成双的两个数，单独的一个数不能称作倒数。
7.一个的数（0除外）乘以的真分数，所得的积小于它的本身。
8.一个数（0除外）乘于以的假分数，所得的积大于或等于它的本身。
9．如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与得分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。例如：a×=b×=c×cab.(都不为0)因为<<，所以吧》b>a>c.
二．分数除法概念总结。
1．分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法 意义相同，都是已知两因数的积于其中一个因数，另一个因数的运算。
2.分数除法口诀：被除数不变，除号变乘号，除数变倒数。
3.两个数相除，又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
4.比值通常用分数、小数和整数表示。
5.比的后续不能为0，（分母不能为0，除数不能为0）
6．比同除数比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数比值相当于商
7.和分数比较，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
8.比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或同时除以相同的数（0除外），比值不变。
9.一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小一或等于它的本身。解分数（百分数）应用题注意事项：
1.找单位“1”的方法：从含分数的句子中找，“的”前“比”后的规则。当句子中的我单位“1”不明显时，把原来的量看作单位“1”。
2.分数（百分数）应用题三种基本类型
①求比较量，用乘法，单位“1”×分率=比较量
②求单位“1”用除法 比较量÷分率=单位“1”
③求分率，用除法 比较量÷单位“1”=分率
3.注意比较量与分率的对应
①多的比较量对多的分率 ②少的比较量对少的分率
③增加食物比较量对增加的分率 ④减少的比较量对减少的分率
⑤提高的比较量对提高的分率 ⑥降低的比较量对降低的分率
⑦工作总量的比较量对工作总量的分率
⑧工作效率的比较量对工作效率的分率
⑨部分的比较量对部分的分率
⑩总量（和）的比较量对总量（和）的分率
4.单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题中的不变量作为单位“1”，统一分率的单位“1”然后再相加减。
5.单位“1”的特点：①单位“1”位分母；②单位“1”为不变量
三．圆的概念总结
1.圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。
2.半径：连接圆心上的任意一点的线段叫做半径。半径一般应字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
3.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
4.直径：通过圆心并且连端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母d表示。
5.在同一个圆内，有无数条半径，所有的半径多相等，有无数条直径，所有的直径都相等。
6.在同一个圆内，直径的长度数半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
7.用字母表示为：d=2r r=d÷2
8.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
9.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算是取3.14.
10.世界上第一个把圆周率算出来的人是我国数学家祖冲之。圆周率=π≈3.14
11.把一个圆切拼成一个进似长方形,割拼成的长方形的长相相当于圆周长的一半,宽相当圆的半径,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=π×r×r=πr2
12．在一个正方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
13.环形圆的周长=外圆周长－内圆周长
14.半径的周长等于圆的周长的一半加直径。公式c=πd÷2＋d或c=πr＋。2r 注：半圆的周长不等于周长的一半，（圆的周长的一半=πr）
15.半圆面积=圆的面积÷2 公式为：c=πr2÷2
16.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也同时扩大或缩小相同的倍数。二面积罗达或缩小一上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和着床就都扩大4倍，而面积扩大16倍。
17.两的圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于一上比的平方。
如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆直径比和周长比都是2：3，面积比是4：9
18.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2π a厘米;当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。
19.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大长方形的面积最小。
20.轴对称图形：如果一个图形沿着一条，直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在这条直线较对称轴。
21.有1条对称轴的图形有；角、等腰三角形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆形、同心环形圆。
注意：平行四边形不是轴对称图形。
22.直径所在知线是圆的对称轴。
四.百分数概念总结
1.百分数的定义：表示一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也较百分率或百分比。
2百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体数量，无单位名称。
3.百分数通常不写成分数形式。而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数，整数，可以大于100，小于100或等于100.
4.应纳税额：缴纳的税款叫应纳税款额.
5.税率：应纳税额与各种收入的比率叫做利率。
6.应纳税额=各种收入×税率
7.本金：存入银行的钱交本金
8.利息：取款时银行多支付的钱叫利息。
9.国家规定，存款的利息，要20％（现在是5％，应用题目为准）的税率。国债的利息不纳税。
10.利率：利息与本金的比值叫做利率。（注意：前、后项不要倒转）
11.银行存款税后利息的计算公式：利息=本金×利率×时间×（1-20％）
12.国债利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
13.本金：本金与利息的总和叫本金.
五.图形总结
(一) 直线、射线、线段
直线：没有端点，两边无限延长，无法度量。
射线：有一个端点，一边可以无限延长，无法度量。
线段：有两个端点，可以度量。
（二）角
1.角的大小取决于角两边叉开的大小，与边的长短无关。
2.角的分类
锐角：大于0度小于90度。 直角：等于90度
1周角=2平角=4直角。 周角：等360度
（三）。三角形
1.意义：由三条线段围成的图形叫做三角形。
2.特性：三角形具有稳定性。
3.三角形的内角和为180度；直角三角形的两个锐角之和为90度。
4.三角形的分类：
按角分：①锐角三角形（三个角都是锐角）②直角三角形（有一个直角）③钝角三角形（有一个角是钝角）
按边分：①等边三角形（三条边都相等，三个角都是60度）②大于三角形（两条边相等）③不等边三角形（三条边度偶不相等）
（四）四边形
1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形较做平行四边形。（或有两组对边分别相等的四边形）（或有一组对边平行且相等的四边形）
2.长方形：长方形是特殊的平行四边形，它的两组对边分别平行且相等，四个角都是直角。
3.正方形：正方形是特殊的长方形，它的四条边都相等，四个角都是直角。
4.梯形：只有一组对边平行的四边形较梯形。两腰相等的梯形叫做等腰三角形。
5.四边形的四个内角和为360度
（五）立体图形
1.正方体的特征：有6个面（都是相等的正方形），12条棱长（长度都相等），8个顶点
2.长方体的特征：有6个面（都是长方形，有可能两个面是正方形，相对的面面积相等），12棱（相对的棱长相等），8个顶点。
（正方形是一种特殊的长方体。当长方体的长、宽、高都相等时，即为正方体）
（六）图形公式总结
长方形的周长=（长+宽）×2 公式：c=(a+b) ×2
正方形周长=边长×4 公式：c=a×4
三角形的面积=底×高÷2 公式：s=a×h÷2
正方形的面积=边长×边长 公式：s=a×a
长方形的面积=长×宽 公式：s=a×b
平行四边形的面积=底×高 公式：s=a×h
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 公式：s=(a+b) ×h÷2
内角和：三角形的内角和=180度
多边形的内角和=（边数-2）×180度
长方体的体积=长×宽×高 公式：v=a×b×h
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 公式：v=a×b×h
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 公式：v=a×a×a
圆的周长=直径×π或2×半径×π 公式： c=π×d或c=2π
圆的面积=半径×半径×π 公式：s=π×r×r
环形圆的面积=大圆面积-小圆面积 公式：s环=π×r×r-π×r×2
六.定义定理性质总结
（一）定律性质方面
1.加法交换律;两数相加交换加数的位置，和不变。
2.加法结合律;三个数相加，先把前面两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3.减数的运算性质：①一个数连续减去几个数，等于这个数减去几个减数的和。②一个数连续减去几个数，可以将几个减数交换位置。
4.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
5.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
6.乘法分配率：两个数的和（差）同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加（减），结果不变。如（2+4）×5=2×5+4×5
7.除数的运算性质：①在除法里，被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。②一个数连续除以几个数，等于这个数除以出数的积。例如：90÷5÷6=9÷(5×6) ③一个数连续除以几个数将几个除数交换位置。
小学数学策略与方法
小学数学教学方法
一、利用创设数学情境来激发学生的学习爱好
教学情境可以说是教师进行有效教学的突破口,由于有了一定的活动情形才能激发学生进入教学状态。教学情境有助于学生在学习中认知活动、情感活动、思维活动有机融会,还能让学生的思想情感和浓厚爱好处于兴奋状态,从而全心全意投入到教师组织的教学活动中。如我们在教学《按比例分配的运用题》时,可以创设这样的故事:第一天,喜洋洋和美帮助羊伯伯收南瓜,羊伯伯把6个大南瓜按1:1的比例分给喜洋洋和美,那么两个各能分得几个呢?分得的个数是同样多的吗?第二天,喜洋洋总结了体会,偷偷动手帮羊伯伯收了非常多的南瓜,羊伯伯一看就高兴了,迅速把6个大南瓜按2:1的比例分给喜洋洋和美,那这时他们两个又各分得几个大南瓜呢?羊伯伯还是平均分配给他们的吗?这样学生就会在听故事的进程中体会到平均分就是按比例分配的一种情形,就可以激起学生迫切想了解按比例分配的方法,引发学习的求知欲。只有激发起学生学习数学的爱好,才能不断提高课堂教学成效,让学生带着好奇心和探索精神在玩中获取知识,从而激发学生学习数学的爱好。
二、在课堂教学中鼓励学生大胆说
语言和思维有着非常密切的关系,所以我们在教学课堂上就应当提供给学生动口说话的时机,让学生在语言的诉说中知道数学知识。比如我们教学这道题时:“一个圆行物体的直径和一个正方形的边长一样都是20米,圆的面积和正方形的面积哪个大呢?冶多数学生都会用以往的方法,分别求出圆的面积和正方形的面积,然后再进行比较(20伊20=400平方米;3.14伊(20衣2)伊(20衣2)=314平方米),从而得出圆的面积小,正方形的面积大。有一次,我教学这一内容时,忽然有一个学生站起来说:老师,可以不用运算也能知道正方形的面积比圆的面积大。这时全班同学都惊奇起来。他说:圆的直径和正方形的边长都是20米,可以看出正方形就在圆的外面,正方形的面积就一定大于圆的面积,全班同学情不自禁地给予他烈火的掌声。所以创造学生说的机会就可以让学生思维得以展现。
三、在课堂教学中激发学生动手操作
数学课堂上引导学生动手操作,是培养学生进行实践、有效探索、优化课堂的途径之一。例如教学《圆的认识》这一内容,我们例举生活中圆形的物体使学生认识到圆与图形的区分,关于圆的画法就让学生自己去大胆尝试。这样学生的积极性与好奇心就会调动起来,从而主动探索。大部分学生很快就会借用圆形物体来画圆了。通过动手操作既能发挥学生的主体地位,又能使学生学习爱好高涨,最大限度调动学生多感官参与学习,在教学上起到事半功倍的成效。只要我们教学时把书本知识与生活联系起来,学生就会学得积极,既可增长感性认识,又能提高动手能力,使数学教学在轻松的活动中完成。
四、在数学课堂上让学生体验到成功的欢乐
学习上的成功,能把学生的自信心增强起来,使学生有获得成绩感的体验,产生出学习的强烈内驱力,给教学的新知教学和学生学习新知带来动力。因此,我们在课堂教学中要多鼓励学生进行知识的尝试与探索,在完成中体验到成功,教师还应重视学生的个别差异,善于激发和鼓励有进步的学生。教学中让学生都能有获得成功体验的机会,让学生从不同角度获取满足感和成绩感。教学要面向全部学生,学困生更应注意培养与转化,对他们要多一些时间进行辅导与关注,给予他们期望与期待。班级中的优生要扩大知识面进行培养,让他们能独立解决问题,体验到学习的无穷乐趣,有效建立酷爱数学的信心。
小学数学课堂教学策略
一、课前自学，发觉不足
课前自学是高效率学习的序曲，它是确保学生带着疑问去上课的条件。由于学生在自学的进程中能发觉自己的不足，针对自己的不足，有时间独立摸索并以特殊方式解决问题，和老师直接教相比，自学获得的知识印象更深入、更扎实。可见，课前自学是对新知识产生新的认识和领会的进程;课前自学是学生潜能发挥、充实大脑的进程;课前自学是学生心灵开释、培养自信的进程。课前自学进程是学生心灵放飞、无比快乐的进程。
比如：在教学中，我充分发挥学案的导学作用，课前下发我精心设计的学案(内容上少而精，以免增加学生的太重的学习负担)，这是学生预习的第一手材料，课后，学生以自己习惯的方式解决学案中的相干问题，为参与课堂探究活动积聚气力。这样的课堂效率会大大提高。实践中我发觉：学生一旦辞别依靠，就会养成独立摸索的习惯，将受益毕生。
二、课上交换，共同提高
学生自主学习能力的培养，应以课堂为主课后为辅，在课堂上教师要真正转变教学观念，要“授之渔”。这就需要教师要创设自主学习的课堂氛围，从培养学生自主张识动身，引导学生逐渐养成自主学习的习惯。在师生互动、生生互动的进程中，进一步提高学习本领。
1、创设情境激趣导入
良好的开端是成功的一半。教师要通过创设情境充分调动学生的好奇心，让学生用最短的时间最快地进入学习状态。我的每节课前情境导入都是根据学生的认知水平，结合学生已有的知识基础和最近发展区，从学生熟悉的生活环境动身，精心设计策划的。
如：在教学《扇形统计图》内容时我利用多媒体出示我家三口一天各类食品摄取量的统计表，然后问学生：从上面的统计图中，你获得了哪些信息?问题一出，学生爱好盎然，不同层次的学生都有表现的机会，一下子把学生的思维带到本节课的学习中来。在七嘴八舌的回答中，学生认识了扇形统计图，为进一步探究买下伏笔。
2、自主探索点拨指导
本环节旨在解决学生自学中暴露出来的主要偏向性的疑难问题，以“兵”教“兵”教学方式为主。也就是学生会的教师不教，学生不会的尽量让学生自行解决，教师只作点拨性的引导。教师的角色是引导者，学生能独立完成的，绝不主张合作完成，学生合作能完成的，教师绝不代劳。在这一阶段，教师要重视学生的亲身体验，给学生充足的时间、足够的空间去创造、去表演，去摸索、去实践，教师不能就题讲题，只找出答案，而是与学生一起寻觅数学规律，真正让学生知其所以然。教育学生学会凝听、学会描写，学会感悟。
在教学运算定律、寻觅数学规律的内容时，我习惯先让学生运算一组题，视察它们的结果，发觉其中的规律，再尝试用语言来描写。如在教学《商不变的性质》时，我出示10道商都是一样的运算题，让学生运算，大多数学生算到第三题就会停下来，进行摸索和判定，后面的题不用运算便能找到答案。从大量具体实例的视察，分析，比较中找出规律是培养学生概括能力的有效途径，这一能力学生将受益毕生。
3、成果展现总结概括
在学生自主探究、小组合作交换的基础上，让学生进行充分的展现、交换，在比较、讨论、评判、引导中优化学习成果，展现思维方式，总结探求思路和方法，加深对知识形成进程的知道，培养归纳概括知识的能力。在这一阶段，教师对学生的不同见解要给予尊重，促使全部参与。学生结合小组或他人的方法和结果进行反思和改进，教学成效从而得到整体优化。
三、转变教学方式，增进学生全面发展
1.创设公道情境
例如，在教学“常见的数量关系单价、数量、总价”一课时，我曾经进行过尝试。课始，便以创设“小商店”为基本活动的情境，组织学生进行购物，在讨价还价中、在买卖双方的对话中了解并掌控单价、数量、总价的概念，以及三者之间存在的数量关系。紧接着，以小组为单位，让学生自主展开买卖活动。在活动中，对学生进行了明确的分工及要求：扮演顾客者必须口头编运用题，并用今天所学的单价、数量、总价之间的数量关系进行解答;而扮演售货员者必须根据顾客购买商品的情形，正确填写发票。这样，整堂课都融入在活动当中――自编并解答运用题的进程中、填写发票的摸索中，不仅巩固了今天所学的知识，更重要的是创设了一个充满浓厚生活力息的活动舞台，使学生体验到数学源于生活、高于生活、用于生活的价值和魅力。
2.加深情感体验
例如，在“认识物体和图形”的教学中，可以选取许多学生生活中熟悉的物体，如小皮球、乒乓球、积木、牙膏盒等等各种形状的物体，把它们放在一个袋子里，先让学生摸一摸，说说自己的感受，有的说是软的，有的说是硬的，有的说是圆的，还有的说是有角的……然后，又让学生把它们倒出来，看一看，拍一拍，放一放，闻一闻，推一推，滚一滚，充分调动学生的全部感官。这样一来，既抓住了学生的好奇心，又能使学生迅速地进入最佳的学习状态，进一步激起了学生参与操作的热情。在全部进程中既有学生自己的亲身体验，又有同学的合作体验，终究让每一位学生都获得了成功的欢乐。
四、改进学习方式，推动学生连续发展
1.自主学习，重在引导
例如，在教学“有余数的除法”时，先创设情境：妈妈从箱子里拿出6个桔子，要把它们放入盘子里，每一盘放3个，算一算可以放几盘?学生立刻口答出来。接着设计了以下三个层次的问题：①再添加一个桔子，问：可以装几盘?还剩几个?请你摆一摆。②然后添加一个桔子，问：现在可以装几盘?还剩几个?③如果把桔子的个数变成9个、10个、11个、12个等，还剩几个?会显现什么结果?根据学生的回答顺次板书，然后让学生视察板书：有什么发觉?余数会不会显现3?当除数是3时，余数只有0、1、2这三种可能，这说明了什么?这样，在教师的引导下，学生通过摆一摆、比一比、说一说等自主活动，自己发觉了“余数都比除数小”的规律，明白了道理，发展了思维。
2.合作学习，条理有效
例如，在教学“统计”一节内容时，可以播放动物园的饲养员给小动物投递饼干的录像，在播放进程中教师问：“它们吃了哪些形状的饼干?”有的说有圆形的，有的说有三角形的，有的说有正方形的。教师连续提问：“每种形状的饼干各吃了多少块?”学生你看看我，我看看你，疑问不解。于是，安排小组活动，组织学生讨论：“用什么办法就可以记住?”有的准备用画图的方法记，有的准备用画勾的方法记，有的准备用画竖线的方法记，有的准备用写数的方法记。这样，通过小组活动学生肯定了各自记的办法。接着让学生拿出白纸和水彩笔为记数作好准备，并再次展现饲养员给小动物投递饼干的画面让学生进行统计，然后让学生比较哪种方法好。通过小组有条理的合作学习，学生找到了统计的方法，感悟了统计的思想。
3.探究学习，重在深入
例如：“学校体育组有30个乒乓球，能装几盒?”这是一道具有挑战性、开放性的习题，其中包蕴了丰富的数学知识、数学思想方法和创新因素。教师让学生用学具进行独立装盒，探究各种装法，再分小组汇报操作结果。在探究进程中，学生知道了既可以平均装，又可以不平均装，平均装和不平均装的区分在于有没有余数，即装盒的方法有多种。在交换中，学生思维不断碰撞，有的同学提出了“每盒个数都不相同，最多可以装几盒”这样一个更深层次的问题。从中可以看出，学生在独立探究和合作交换中获得了思维的发展，撞出了创新思维的火花。
五、巩固提高迁移拓展
感悟、体验诚宝贵，迁移、实用价更高。这是知识的转化、巩固与深化进程。通过当堂训练，加深对所学知识的知道，同时利用所学知识去解决实际生活中的问题，以获得不同的经历和体验。如在学习完平行四边形面积之后，我给学生留下这样的探究作业：想一想，能不能用这节课的方法推导出三角形、梯形的面积公式?不但巩固了新知，而且对以后的学习做好铺垫。
“未来文盲，不再是不认识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”因此培养学生的自学能力，使其从“学会”到“会学”不论是从实行素养教育的角度看，还是从毕生教育、创新教育的角度看，都是我们数学教学改革的一项重要课题。先学后教，自主学习的教学模式，教师把学习主动权还给了学生，学生在自主、合作、探究中快乐的学习，变“要我学”为“我要学”!
六、完善评判方式，实现学生和谐发展
1.课堂视察，进程与结果有效结合
传统课程评判只注意“输入”和“输出”两点，只报“结果”不报“进程”，是一种“暗箱式”的评判，而现代课程评判理念提倡进程性评判和发展性评判。对此，“课堂视察”评判法能及时地了解学生的学习情形，反应学生的学习进程，是对“纸笔测验”评判法的一种很好的补充。老师在实行时也能够根据需要，结合学生成长记录袋，关注学生突出的一两个方面。
2.多种评判结合，全面公道
评判主要包括自我评判与他人评判(如教师评判、同伴评判和家长评判等)，但每一种评判方式都有自己的优势与局限。例如，自我评判一方面有利于学生发觉问题、寻觅解决问题的方法，增进学生自我发展;另一方面又由于缺少一个客观的标准，因此主观性很强，容易显现对成绩或问题估计过高或过低。因此，在进行他人评判时，鼓励被评判者主动参与评判，强调评判进程中评判者与被评判者以及被评判者相互之间的双向沟通和协商，从而使被评判者认可通过评判所发觉的问题，主动寻求实行改进、增进发展的措施与方法，实现评判的诊断、鼓励和改进功能。
小学数学教学的现状
1、缺少师生之间的互动，忽视了学生的重要作用：
在数学课堂教学中，始终以老师为主体。老师带领学生进行数学教学活动，却没有给学生自主学习和独立摸索的机会，老师利用黑板和粉笔进行教学，对课本进行了详细的介绍和讲授。但是在这个进程中，学生只关注了黑板上的画面，并没有去认真的摸索问题，更是没有对其进行独立的研究。学生只是在老师的引导下，对课文进行了简单的和表面的了解，在老师的牵动下对问题进行回答。虽然这种学习方式能很快的将学习内容讲授完毕，但是却忽视了学习的渐进性特点，学生也没有从这样的教学模式中学习到什么技能和思维方式。
2、学生缺少一定的创新意识和创新能力：
小学数学的难点就是由于小学生还处在一个心智发展的阶段，在此时缺少一定的想象力，所以很难将抽象的数学图案和理论知识结合起来。但是数学知识他本就有具体性，即如果把抽象的数学图案转换成一定的数学模式，就会将知识具体化，形象化，这样有助于学生将数学概念形象化，容易将数学概念和数学现象结合起来，有助于学生能够更好更快的接受复杂的几何图案和数学公式，并且很清楚的找到彼此之间的联系，也培养了小学生们独立自主的创新意识以及创新能力。
3、教学资料单调，学生缺少探索的领域：
小学教师进行教学活动的资料基本上都是来自于教材，教师并没有去利用其他的工具进行详细的了解，即这样获取的数学知识的内容就会很少，根本不足以让学生真正地感遭到数学文化的博大精深，学生走不进数学的天地，也就不能引发学生的爱好。愈甚者会给学生造成一知半解的局面，比较抽象的知识，教师也不知道如何将知识讲的具体化，所以学生就会一直处在懵懵懂懂的状态下进行学习，影响教学成效，影响学生学生学习数学的态度。
4、学生缺少良好的学习习惯，不能真正地知道学习的真谛：
像数学这种具有一定难度的学科，需要学生进行定时的预习和复习，并且需要多做一些课外的辅导功课。但是小学生面对着大量的学习计划和学习任务，只是一心的进行做题，并没有进行公道的计划，本来学好数学就需要大量的学习时间，但是学生却在成心和不经意中减少了本来属于学习数学的学习时间，这就导致了学生学习数学成效不佳的现状。
小学数学题型分类
1归一问题
【含义】
在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】
总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1：3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草 千克。
解:
1、根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：24÷3÷4=2(千克)。
2、那么5头牛一天吃2×5=10(千克)的草料。
3、那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。
例2：
5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。如果每人每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做 张正方形纸片？
解：
1、可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240÷8=30(张)。
2、再算出1名同学1分钟制作的数量，30÷5=6(张)。
3、现在有5+2=7(名)同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7×6×15=630(张)正方形纸片。
例3：
某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要 小时完成？
解：
1、4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件600÷4÷5=30（个）。
2、增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每小时生产零件7×30=210（个）。
3、如果生产6300个零件，需要6300÷210=30（小时）完成。
2归总问题
【含义】
解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时走的总路程等。
【数量关系】
1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】
先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1：
王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够4只牛吃（ ）天？解：1、可以算出这些草够1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。2、算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。
例2：
小青家有个书架共5层，每层放36本书。现在要空出一层放碟片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放 （ ）本书。
解：
方法一：
1、根据题意可以算出书架上有5×36=180(本)书。
2、现在还剩下5-1=4(层)书架。
3、所以每层书架上有180÷4=45(本)书。比原来多45-36=9(本)书。
方法二：
也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4层，所以每层比原来多放36÷4=9（本）书。
例3：
一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排水管。单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？
解：
1、要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度，进水每小时480÷8=60（吨）；排水每小时480÷6=80（吨）。
2、当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20（吨）。
3、再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。480÷20=24（小时）。
3和差问题
【含义】
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】
大数＝(和＋差)÷2小数＝(和－差)÷2
【解题思路和方法】
简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1：
两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重 千克，第二筐水果重 千克。
解：
因为第一筐比第二筐重
1、根据大大数＝(和＋差)÷2的数量关系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。
2、根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。
例2：
登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（ ）名专家。
解：
1、原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）
2、根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，第二组人数应该为(120-40)÷2=40（人）。
例3：
某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？
解：
1、第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-25-15）÷3=80（人）。2、据此可得出第一、二车间的人数。
5差倍问题
【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】
两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1：
莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（ ）本。
A、 8
B、 12
C、 16
D、 24
解：
1、解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。
2、把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。
例2：
甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油 千克，乙桶有油 千克。
解：
1、根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。
2、根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。例3：
每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工 个成品。
解：
1、加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。。
2、把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）
3、那么甲原来有90×2=180（个）零件。
4、每件成品需要5个甲零件，2个乙零件，那么加工30个成品，甲零件用了5×30=150（个），乙零件用了2×30=60（个），所以甲零件还剩180-150=30（个），乙零件还剩90-60=30（个）。剩下的甲零件还能做30÷5=6（个）成品，剩下的乙零件还能做30÷2=15（个）成品。因为每件成品需要甲、乙两种零件共同完成，所以剩下的零件数还可以加工6个成品。
6年龄问题
【含义】
已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】
大数＝(和＋差)÷2小数＝(和－差)÷2总和÷(几倍+1)＝较小的数总和-较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】
年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。年龄问题都可以转化为和差、和倍、差倍问题。简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1：
爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈 岁。
解：
1、本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。
2、爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。
例2：
姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹 岁。
解：
方法一：
1、利用年龄同增同减的思路。
2、姐妹俩今年的年龄之和是：15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：（39-27）÷2=6（年）。
3、那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。
方法二：
1、利用年龄差不变的思路。
2、两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）÷2=18（岁）。
例3：
爸爸今年50岁，哥哥今年14岁， 年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。
解：
1、不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。
2、问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4倍。
3、根据两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）÷4=9（岁）。
4、再根据题意可求出14-9=5（年）前。
例4：
今年姐妹两人的年龄和是50岁，曾经有一年，姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍。那么姐姐今年 岁。
解：
1、当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍时，我们设那时妹妹的年龄是1份，那么姐姐的年龄就是2份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是1份。
2、因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，所有妹妹今年的年龄也是2份。因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是2+1=3份。
3、今年姐妹两人的年龄和是50岁，对应2+3=5份，求出1份是50÷5=10（岁），那么姐姐今年是10×3=30（岁）。
7相遇问题
【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】
相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。这条马路长。
解：
根据公式总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间，可以求出这条马路长（60＋80）×5 =700（米）。
例2：
甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。到达目的地后立即返回。已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距 千米。
解：
1、本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。
2、画线段图
3、从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。甲乙合行了一个全程的路程。
从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能行50×2=100(千米)。
4、因此甲一共行了50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。
所以AB两地相距150-60=90(千米)。
例3：
欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过 次。
解：
1、根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。（线段图参考例2。）
2、根据“相遇时间=总路程÷速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。
3、因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也就是32秒，则经过第一次相遇后，剩下的时间是600-16=584（秒），还要相遇584÷32=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19（次）。
8追及问题
【含义】
两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。警官赶紧以每秒3米的速度追，（ ）秒后警官可以追上这个匪徒。
解：
1、从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。根据公式：路程差÷速度差=追及时间。
2、路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。所以追及的时间为100÷1=100（秒）。
例2：
甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。那么甲乙二人出发后（ ）秒第一次相遇？
解：
1、由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。
2、由追及时间=总路程÷速度差可得：经过400÷（8-6）=200（秒）两人第一次相遇。
例3：
小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。那么甲、乙两地相距多远？
解：
1、根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。首先是小轿车和面包车的相遇问题；其次是面包车和大客车的相遇问题；然后是小轿车与大客车的追及问题。最后通过大客车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地距离。
2、画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的路程。图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。
3、由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。有小轿车与大客车的速度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。
（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小时）。
4、由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程为（42+48）×3=270（千米）。
9植树问题
【含义】
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】
线形植树：
一端植树：
棵数＝间隔数=距离÷棵距
两端植树：
棵数＝间隔数+1=距离÷棵距＋1
两端都不植树：
棵数＝间隔数-1=距离÷棵距-1
环形植树：
棵数＝间隔数=距离÷棵距
正多边形植树：
一周总棵数=每边棵数×边数-边数
每边棵树=一周总棵数÷边数+1
面积植树：
棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1：
植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？
解：
1、本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况，解决此类问题的关键是要理解棵数比间隔数少1。
2、因为棵数比间隔数少1，所以共有8+1=9个间隔，每个间隔距离是72÷9=8米。
3、所以每两棵树之间的距离是8米。
例2：
佳一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。已知操场的周长是500米，每隔5米插一根红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，那么一共插红旗多少面，一共插黄旗多少面。
解：
1、本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题，本题中只要抓住棵数＝间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。
2、棵数＝间隔数，一共插红旗500÷5＝100（面），这一百面红旗中一共有100个间隔，所以一共插黄旗100面。
例3：
多多从一楼爬楼梯到三楼需要6分钟，照这样计算，从三楼爬到十楼需要多少分钟？
解：
1、本题考查的是植树问题中锯木头、爬楼梯问题的情况。需要理解爬的楼层、锯的次数与层数、段数之间的关系，所在楼层=爬的层数+1；木头段数=锯的次数+1。
2、从一楼爬楼梯到三楼，需要爬2层，需要6分钟，所以每层需要6÷2=3（分钟）。因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）×3=21（分钟）。
例4：
时钟敲3下要2秒钟，敲6下要多少秒？
解：
1、本题考查的是植树问题中敲钟声问题，与锯木头爬楼问题类似，本题中只要抓住敲的次数＝间隔数+1。
2、时钟敲3下，中间有2个间隔，2个间隔需要2秒钟，那么1个间隔需要1秒钟。
时钟敲6下，中间有5个间隔，需要5秒。
10行船问题
【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
某船在同一条河中顺水船速是每小时20千米，逆水船速是每小时10千米，这条河的水流速度是每小时 千米？
解：
顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，顺水船速比逆水船速多2个水流速度，
因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/时)。
例2：
某条大河水流速度是每小时5千米，一艘静水船速是每小时20千米的货轮逆水航行5小时能到达目的地，这艘货轮原路返回到出发地需要多少小时？
解：
1、逆水速度=静水船速-水流速度，所以货轮逆水速度是20-5=15(千米/时)，行驶5小时共行了15×5=75(千米)。
2、原路返回时是顺水航行，顺水速度是静水船速+水速，即20+5=25(千米/时)，所以返回用时75÷25=3(小时)。
例3：
小船在两个码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，若一只木筏顺水漂过这段距离需 小时？
解：
1、我们可以假设一个路程。假设两个码头之间的距离是200千米，顺水需4小时，则顺水的速度是每小时200÷4=50（千米），逆水需5小时，则逆水的速度是每小时200÷5=40（千米）。
2、根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）÷2”得到，水流速度是每小时（50-40）÷2=5（千米）。
3、一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度，所以木筏顺水漂过这段距离需要200÷5=40（小时）。
11列车问题
【含义】
与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】
火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车的速度是多少米/秒？
解：
1、本题考查的是火车过桥的问题，解决本题的关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长＋隧道长，进而求出车速。
2、因此火车的速度为：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。
例2：
在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行18米，另一列火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12秒钟，那么另一列火车长多少 米？
解：
两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长度之和。根据“路程和=速度和×时间”可得，另一列火车长=（18+19）×12-208=236（米）。
例3：
一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。原来火车每秒行多少米？
解：
1、根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用18×2=36（秒）。
2、隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）行驶这一段路程，根据速度=路程÷时间，可以求出原来火车每秒行132÷12=11（米）。
12时钟问题
【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。
【数量关系】
分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】
将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及问题”后可以直接利用公式。例1：
钟面上从时针指向8开始， 再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?（精确到1分）
解：
1、此类题型可以把钟面看成一个环形跑道，那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。
2、分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以需要240÷5.5≈44（分钟）。也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。
例2：
从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？
解：
我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题，从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。
例3：
一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时，小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下，这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）
解：
1、解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°，进而转化成相遇问题来解决。
2、两个多小时，分针与时针位置正好交换，所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走了360°×3=1080°，而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°需要1080÷6.5≈166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。
13盈亏问题
【含义】
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】
一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总量＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总量＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总量＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1：
小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少米？
解：
1、分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”转化为比计划路程少行50×3=150（米），把“提前5分钟”转化为比计划路程多行70×5=350（米），这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。
2、根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）÷（70-50）=25（分钟）。
3、所以小明家到学校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。
例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块；若每人擦6块，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？
解：
1、由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条件转化成一般盈亏问题。“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块”。
2、这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60块。
例3：
动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。一共有多少只猴子？
解：
1、分析题意，题中有两种分配方式，联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少2×10=20（个），再把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理解为每只猴子分9个，则还少（9-8）×2+3=5（个）。
2、这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。
14工程问题
【含义】
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】
工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝工作总量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】
解答工程问题的关键是把工作总量看作单位“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
例1：
一项工程，甲队独做要12天完成，乙队独做要15天完成，两队合做4天可以完成这项工程的（ ）。
解：
1、本题考察的是两个人的工程问题，解决本题的关键是求出甲、乙两队的工作效率之和。进而用工作效率×工作时间=工作量。
2、甲队的工作效率为:1÷12=，乙队的工作效率为:1÷15=，两队合做4天，可以完成这项工程的（+）×4=3/5。
例2：
一项工程，甲、乙两队合作30天完成。如果甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。这项工程如果由甲队单独做，需要多少天完成？
解：
1、我们可以将“甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成”转化为“甲、乙两队合做27天，甲再单独做9天”，由此可以求出甲9天的工作量为：，甲每天的工作效率为：，这项工程如果由甲队单独做，需要90天。
例3：
有一项工程，甲单独做需要6小时，乙单独做需要8小时，丙单独做需要10小时，上午8时三人同时开始，中间甲有事离开，如果到中午12点工程才完工，则甲上午离开的时间是几时几分？
解：1、根据题意，知道了甲乙丙的工作时间可求出相应的工作效率。甲的工作量是全部工作量减去乙丙的工作量，所以甲的工作时间也可以求出来，即甲上午离开的时间也可以求出来。
2、甲的工作量=1-（+1/10）×4=1/10；
甲的工作效率为：1÷6=1/6
所以甲的工作时间为：1/10÷1/6=（小时）
所以甲离开的时间是8时36分。
15百分数问题
【含义】
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【数量关系】
掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】
一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1：
在植树节里，某校六年级学生在校园内种树8棵，占全校植树数的20%，则该校在植树节里共植树多少棵？
解：
已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植树数的比值，直接用除法运算即可。所以：8÷20%=40（棵）
例2：商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的25%，第二天卖出45件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下20件，则商店原先进了多少件连衣裙？
解：
1、把这批连衣裙的总数看作单位“1”，已知第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分之一，也就是第三天卖出了25%的和45的，由此可以求出与（45+45×+20）对应的分率。
2、根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，用除法解答。
（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）
例3：
一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，白子占总数的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占总数的75%，则原来这堆棋子一共有多少枚？
解：
1、本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是当一种棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份数，进而解决问题。
2、由条件可知，当拿走49枚黑子时，此时白子的数量没有变化，那么拿走49枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子与白子的数量比为（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相当于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子
3、拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。
4、再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的数量没有变化，所以原来黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原来这堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。
知识补充
百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：
增长率＝增长数÷原来基数×100%
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%
出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
16方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1：
佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。那么参加团体操表演的运动员一共有 多少人？
解：
1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：
欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？
解法1：
1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
解法2: 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4。则：（16-3）×3×4=156(枚)
例3：
一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有 多少人？
解：
方阵的行数和列数相同，9×9=81，所以这是一个9行9列的方阵。最外层人数与一边人数的关系：一边人数×4-4=一层人数。所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。
例4：
明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心方阵，这个方阵最外层每边有 多少个棋子？
解：
1、根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（个），那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144（个）。
2、根据空心方阵中，每相邻的两层的棋子数相差8的关系，我们可以找出等量关系，列方程解决。
设最外层有x个棋子，则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）个、（x-16）个、（x-24）个。
则：x+ x-8+x-16+x-24=144，x=48
所以这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（个）棋子。
17牛吃草问题
【含义】
“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】
草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路和方法】
解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1：
这是一片新鲜的牧场，现有400份草，每天都均匀地生长6份草。若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。这片牧场的草够奶牛吃多少天？
解：
1、本题考查的是牛吃草的问题，解决本题的关键是要求出每天新增加的草量，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草。
2、由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。
奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。原有的草量是不变的。每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量，那么剩下的20头奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），够吃20天。
例2：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要 多少台同样的抽水机？
解：
设每台抽水机每天可抽1份水。
5台抽水机20天抽水：5×20=100（份）
6台抽水机15天抽水：6×15=90（份）
每天入库的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）
原有的存水量：100-20×2=60（份）
需抽水机台数：60÷6+2=12（台）
答：要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。
例3：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需 多少分钟？
解：
1、本题考查的是牛吃草的问题，“旅客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。
2、由题目可知，旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。那么4个检票口30分钟检票4×30=120（份），5个检票口20分钟检票5×20=100（份），多花了10分钟多检了120-100=20（份），那么每分钟新增顾客数量为20÷10=2（份）。那么原有顾客总量为：120-30×2=60（份）。同时打开7个检票口，我们可以让2个检票口专门通过新来的顾客，其余的5个检票口通过原来的顾客，需要60÷5=12（分钟）。
18鸡兔同笼问题
【含义】
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只头和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】
第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：假设全是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】
解此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1：鸡和兔在一个笼子里，共有35个头，94只脚，那么鸡有多少只，兔有多少只？
假设笼子里全部都是鸡，每只鸡有2只脚，那么一共应该有35×2=70（只）脚，而实际有94只脚，这多出来的脚就是把兔子当作鸡多出来的，每只兔子比鸡多2只脚，一共多了94-70=24（只），则兔子有24÷2=12（只），那么鸡有35-12=23（只）。
例2：
动物园里有鸵鸟和长颈鹿共70只，其中鸵鸟的脚比长颈鹿多80只，那么鸵鸟有多少只，长颈鹿有多少只？
解：
假设全部都是鸵鸟，则一共有70×2=140（只）脚，此时长颈鹿的脚数是0，鸵鸟脚比长颈鹿脚多140只，而实际上鸵鸟的脚比长颈鹿多80只，因此鸵鸟脚与长颈鹿脚的差数多了140-80=60（只），这是因为把其中的长颈鹿换成了鸵鸟。把每一只长颈鹿换成鸵鸟，鸵鸟的脚数将增加2只，长颈鹿的脚数减少4只，那么鸵鸟脚数与长颈鹿脚数的差就增加了6只，所以换成鸵鸟的长颈鹿有60÷6=10（只），鸵鸟有70-10=60（只）。
例3：李阿姨的农场里养了一批鸡和兔，共有144条腿，如果鸡数和兔数互换，那么共有腿156条。鸡和兔一共有多少只？
解：
根据题意可得：前后鸡的总只数=前后兔的总只数。把1只鸡和1只兔子看做一组，共有6条腿。前后鸡和兔的总腿数有144+156=300（条），所以共有300÷6=50（组），也就是鸡和兔的总只数有50只。
例4：一次数学考试，只有20道题。做对一题加5分，做错一题倒扣3分（不做算错）。乐乐这次考试得了84分，那么乐乐做对了多少道题？
解：
如果20题全部做对，应该得20×5=100（分），而实际得了84分，少了100-84=16（分）。做错一题和做对一题之间，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做错了16÷8=2（题）。一共20题，所以乐乐做对了20-2=18（题）。
19抽屉问题
【含义】
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如367个人中至少有两个人是同一天过生日，这类问题在生活中非常常见，它所依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。抽屉原理又名狄利克雷原则，是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。
【数量关系】
基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路和方法】
目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。
例1：不透明的箱子中有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各20个，一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球？
解：
解决这个问题要考虑最不利的情况，因为有4种颜色，想要摸出两个相同颜色的球。那么最不利的情况就是，每种颜色的各摸出一个，这时再摸一个球，一定与前几个球有颜色相同的。因此至少要摸4+1=5(个)球。
例2：袋子中有2个红球，3个黄球，4个蓝球，5个绿球，一次至少摸出多少个球就能保证摸到两种颜色的球？
解：
解决这个问题要考虑最不利情况，想要摸出两种颜色的球，最不利的情况应该是将一种颜色的球都拿出来时，不论接下来摸的球是什么颜色都与之前颜色不同。因为4种球的个数各不相同，所以最不利的情况应该是先将个数最多的球都拿出来，接下来摸的球都一定与之前颜色不同。因此至少摸出5+1=6(个)球
例3：一次数学竞赛共5道选择题，评分标准为：基础分5分，答对一题得3分，答错扣1分，不答不得分。要保证至少有4人得分相同，最少需要多少人参加竞赛？
解：
1、本题考察的是抽屉原理的相关知识，解决本题的关键是要知道得分一共有多少种不同的情况，进而从最坏的情况开始考虑解决问题。
2、一共有5题，且有5分的基础分，那么每道题就有1分的基础分。也就相当于答对一题得4分，答错不得分，不答得1分。
这次数学竞赛的得分情况有以下几种：
5题全对的只有1种情况：得20分；
对4题的有2种情况：1题答错得16分，1题没答得17分；
对3题的有3种情况：2题全错得12分，只错1题得13分，2题不做得14分；
对2题的有4种情况：3题全错得8分，只错2题得9分，只错1题得10分；3题全不答得11分；
对1题的有5种情况：4题全错得4分，只错3题得5分，只错2题得6分，只错1题得7分，4题全不答得8分；
答对0题有6 种情况：5题全错得0分；错4题得1分，错3题得2分，错2题得3分，错1题得4分，5题全不答得5分。
我们发现从0分到20分，只有19分、18分、15分这三个分数没有，其它都有，所以一共有20+1-3=18（种）不同的得分。
要保证有四人得分相同，最少需要18×3+1 = 55（人）参加竞赛。
20浓度问题
【含义】
在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】
溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】
找出不变量，简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。例1：要将浓度为25％的酒精溶液1020克，配制成浓度为17％的酒精溶液，需加水多少克？
解：
1、根据题意可知，配制前后酒精溶液的质量和浓度发生了改变，但纯酒精的质量并没有发生改变。
2、纯酒精的质量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液质量的17%，所以配制后酒精溶液的质量：255÷17%=1500（克），加入的水的质量：1500-1020=480（克）。
例2：
有浓度为30%的盐水溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的盐水溶液。如果再加入同样多的水，那么盐水溶液的浓度变为多少？
解：
1、分析题意，假设浓度为30%的盐水溶液有100克，则100克溶液中有100×30%=30（克）的盐，加入水后，盐占盐水的24%，此时盐水的质量为：30÷24%=125（克），加入的水的质量为125-100=25（克）。
3、再加入相同多的水后，盐水溶液的浓度为：30÷（125+25）=20%。
例3：
两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%，若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？
解：
1、本题考察的是浓度和配比问题的相关知识，解决本题的关键是先求出原溶液与混合后的溶液浓度差的比，从而求出所需溶液质量的比，并解决问题。
2、根据题意可知，浓度为35%的盐水和浓度为20%的盐水混合成浓度为30%的盐水，因为浓度为35%的盐水比混合后的浓度多35%-30%=5%，浓度为20%的盐水比混合后的浓度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合时，2份浓度为35%的盐水才能补1份浓度为20%的盐水，故浓度为35%的盐水与浓度为20%的盐水所需质量比为2:1，所以浓度为35%的盐水一共有300÷1×2=600（克）。
3、同理，浓度为45%和15%的盐水溶液与混合后浓度为35%的盐水溶液差的比为（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么浓度为45%和15%的盐水溶液所需要的质量比为2:1，即2份浓度为45%的盐水才能补上1份浓度为15%的盐水，故原来浓度为45%的盐水有600÷（1+2）×2=400（克）。
21税率利率问题
【含义】
在我国把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。税率，是对征税对象的征收比例或征收额度。中国现行的税率主要有比例税率、超额累进税率、超率累进税率、定额税率。
【数量关系】
年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率本息和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］超额累进税额=第一级金额×第一级税率+第二级金额×第二级税率+第三级金额×第三级税率……
【解题思路和方法】
简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。例1：
多多妈11月2日存入银行2000元，定期二年，如果年利率按2.5%（10月9日起，对储蓄存款利息所得暂免征收个人所得税），到期时应得利息多少元？
解：
本题考查的知识点是利息=本金×年利率×期数，所以到期时应得利息2000×2.5%×2=100（元）。
例2：
李阿姨把5万元存入银行，存期两年，年利率是3.25%，到期后她能获得的本息共多少元？
已知本金、年利率和时间，根据本息和=本金×（1+利率×时间），可求出本息和，即50000×（1+3.25%×2）=53250（元）。
例3：
根据国家规定，稿费收入超过2800元部分需缴纳个人所得税，其中不超过1200元的部分按10％税率缴纳，超出1200元的部分按照15%税率纳税，某作家税后获得稿酬4560元，那么他缴纳了多少元个人所得税。？
解：
1、根据题意可知，该作家税后稿酬4560元，则所缴纳的个人所得税一定包含不超过1200元的和超出1200元的两部分。
2、其中，不超过1200元的部分，需要缴纳个人所得税1200×10%=120（元），实得1200-120=1080（元）。所以，该作家超出1200元的部分实得4560-2800-1080=680（元）。
3、那么超出1200元的部分税前应为680÷（1-15%）=800（元）。所以，该作家缴纳个人所得税120+800-680=240（元）。
22利润问题
【含义】
这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】
利润＝售价－进货价利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－售价亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】
简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。例1：某服装店从韩国代购100件羽绒服，每件进价300元，另外还需要付10元/件的代购费和200元的国际快递费。该服装店要想每件羽绒服获得75%的利润率，则每件定价为多少元？
解：
由题意可知，每件羽绒服实际总成本包括每件羽绒服的进价、代购费和运费，总成本为300+10+200÷100=312（元），要想每件获得75%的利润，那么每件定价应该是成本的1+75%=175%，故每件定价为312×175%=546（元）。
例2：
一件上衣打七折后的售价是140元，老板说：“如果这件上衣打对折就不赚也不亏”。这件上衣成本是多少元？
解：
1、本题关键是理解打折的含义，打几折后现价就是原价的百分之几十，打对折就是指现价是原价的50%。
2、打七折是指现价是原价的70%，若把原价看成单位“1”，它的70%对应的数量是140元，所以原价是140÷70%=200（元）。打对折是指打折后的价格是原价的50%，再用原价乘50%就是这件上衣的成本价。所以这件上衣成本价：200×50%=100（元）。
23容斥问题
【含义】
容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
【数量关系】
A∪B = A+B – A∩B
A∪B∪C = A+B+C – A∩B – B∩C – C∩A + A∩B∩C
【解题思路和方法】
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。可画文氏（韦恩）图来解题。
例1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长 厘米。
解： 1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（ ）厘米。
A、2B、4C、8D、16
解：
1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。选择B。
例3：
某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？
解：
根据题意画图
2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
3、由图可知，6、9、10人都是两两重叠的部分，被多算了一次，要减去：60-6-9-10=35（人），但要注意，图中的3人，在计算19、20、21的和的时候被加了三次，在“-6-9-10”的时候又被减了三次，那么相当于漏算了这3人，所以我们应该将漏算的3人加上，35+3=38（人），这38人是至少有一项达到优秀的人数，算全班总人数，还需要加上三项都未达到优秀的4人，所以共有38+4=42（人）。
24最值问题
【含义】
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都归结为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为最值问题。
数量关系】
一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】
枚举法，综合法，分析法，公式法，图表法
例1：七个小朋友共折纸花100朵，每个小朋友折的朵数都不相同，其中折的最多的小朋友折了18朵，则折的最少的小朋友至少折了多少朵？解：
1、要想最少的尽可能少，那么其他人就要尽可能多。
2、因为求折的最少的小朋友至少折了多少朵，那么其他六位小朋友应折的尽可能多，折的朵数应分别为18、17、16、15、14、13，则折的最少的小朋友至少折了100-18-17-16-15-14-13=7（朵）。
例2：有22根长都是1厘米的小棒，乐乐用这些小棒围成长方形，围成的长方形面积最大是多少平方厘米，最小是多少方厘米？
解：
1、题目已知的是周长求面积，可以利用列表的方法解决。
2、周长是22厘米，则长与宽的和是22÷2=11（厘米），我们将可能的情况列表呈现出来。
3、所以围成的长方形面积最大是30平方厘米，最小是10平方厘米。
例3：
有一个73人的旅游团，其中男47人，女26人，住到一个旅馆里。旅馆里有可住11人，7人，4人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男、女分别住在不同的房间里，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。服务员最少用了多少个房间？
解：
1、要使房间用的少，则尽量先用11人间，但是也要考虑每个房间都要住满和性别差异，所以男女分开计算。
2、因为3×11+7×2=47（人），所以男的住了3个11人的房间，2个7人的房间。又因为11×2+4=26（人），所以女的住了2个11人的房间，1个4人的房间，则服务员最少用了3+2+2+1=8（个）房间。
25分段计费问题
【含义】
在现实生活中，有一类像“阶梯水费”、“阶梯电费”、“出租车计费”、“医疗费报销”这样的特殊计费问题，由于其不同区间的计费标准各不相同，需要分段计费再汇总，我们把生活中的这类问题统称为“分段计费问题”。
【数量关系】
总价=（总路程-起步路程）×单价+起步价
水费、电费总价=第一档量×单价1+第二档量×单价2+……
【解题思路和方法】
按照题目的要求，根据公式解决。
例1：某市出租车的计费标准是：起步价（3千米以内，包括3千米）14元，以后每超过1千米（不足1千米的按1千米计算）另加价3元，如果欢欢身上只有35元，他最多可以乘车走多少千米？解
1、本题考查的是出租车分段计费问题，学生首先要理解起步价的含义，然后计算出超过起步里程部分多余钱数可以乘车的里程数，最后再加起步价的3千米即可。
2、欢欢身上只有35元，扣除起步价的14元，还剩下35-14=21（元），超过起步价里程的部分每千米3元，超过起步价里程部分一共可以乘车21÷3=7（千米），所以欢欢最多可以乘车3+7=10（千米）。
例2：电力是重要的资源，为节约用电，缓解电力供应紧张，某省公布了居民用电阶梯电价听证方案：
如果按此方案计算，小华家6月份的电费为137.7元，则小华家6月份的用电量是多少度。
解：
1、首先要计算出临界电量时的电费钱数，然后判断出小华家6月份用电量所处哪一档。
2、当用电量为210度时，电费为
210×0.52=109.2(元);
当用电量为350度时，电费为
109.2+(350-210)×(0.52+0.05)=189(元),109.2元<137.7元<189元,
所以小华家6月份用电量处于第二档。
3、超出210度部分为(137.7-109.2)÷(0.52+0.05)=50(度),所以小华家6月份的用电量是210+50=260（度）。例3：往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.8元，超过20克不超过40克付邮费1.6元，以此类推，每增加20克，增加0.8元邮费，如果小王寄出92克的信，他应付邮费多少元。？解：
1、根据条件，要根据小王寄出信的质量，计算不同段的费用，再确定所付的邮费。
2、根据题意，我们可以得到：
信件质量不超过20克时，付邮费0.8元；
信件质量超过20克，不超过40克时，付邮费1.6元；
信件质量超过40克，不超过60克时，付邮费2.4元；
信件质量超过60克，不超过80克时，付邮费3.2元；
信件质量超过80克，不超过100克时，付邮费4元；
因为80＜92＜100，所以小王应付邮费4元。
26智巧问题
【含义】
智巧问题指的是一些趣味性强,且带有智力挑战性质的问题。解答此类问题一般不需要复杂的计算,但需要具有一定的解题经验,学会运用一些技巧,机智地获得答案。
【数量关系】
无固定数量关系
【解题思路和方法】
需要具有一定的解题经验,学会运用一些技巧。
例1：一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米，那么长到5厘米要多少天？
解
1、因为每天长大一倍，所以天数每次减少1，而长度却是后一天的一半。
2、30天长到20厘米，那么29天应是30天长度的一半，即20÷2=10厘米。28天是29天长度的一半，即10÷2=5厘米。
所以需要28天。
例2：现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，最少称几次就能将这粒假珍珠挑出来？解：
1、因为天平称重有三种结果：①两边一样重；②左边重；③右边重，所以可以用三分法。
2、现将81粒珍珠三等分，在天平两边各放27粒珍珠，天平下还有27粒。若两边一样重，则假珍珠在剩下的27粒中；若左边重，则假珍珠在天平右边的27粒中；若右边重，则假珍珠在天平左边的27粒中。然后再将有假珍珠的一堆三等分，继续上面的做法。最后只要称4次就可以将假珍珠挑出来。
例3：
某商店出售啤酒，规定每5个空啤酒瓶能换1瓶啤酒。张叔叔家买了80瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒？
解：
1、最后差1个空瓶可以采取先借后还的方法达到没有空瓶剩余的目的。
2、喝掉80瓶啤酒，用80个空瓶换回16瓶啤酒；喝掉16瓶啤酒，用16个空瓶换回3瓶啤酒余1个空瓶；喝掉3瓶啤酒，加上次剩下的1个空瓶还剩4个空瓶。
3、此时，再借一个空瓶又可以换回一瓶啤酒，喝完后将空瓶还了。那么前后共喝了80＋16＋3＋1=100（瓶）。
27水管问题
【含义】
关于水池注水、排水问题的一系列数学问题。
【数量关系】
水管问题与工程问题是一样的。水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量。单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。
【解题思路和方法】
水管问题与工程问题的解题思路基本相同。解决此类问题关键是要掌握其基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量。
例1：一根甲种水管30分钟可以注满水池，一根乙种水管40分钟可以注满水池，先用了3根甲种水管进水5分钟，再打开若干根乙种水管，2.5分钟就注满水池，则打开了（ ）根乙种水管？解
1、本题考察的是水管问题的相关知识，解决本题的关键是要先求出甲、乙两管齐开时，需要注入多少水量，从而求出乙水管的注水量和需要的根数。
2、由条件知，3根甲种水管5分钟进水量为×3×5=½，
那么还剩下1-½=½的水量就是甲、乙两种水管齐开2.5分钟注入的，甲、乙两种水管齐开每分钟注水量为½÷2.5=。
所以若干根乙种水管每分钟注水量为–×3=，一根乙种水管的注水效率为，所以乙种水管打开了÷=4（根）。
例2：一个水池装有甲、乙两个水管。开放甲管3小时20分注满水池的一半，接着又开放乙管，两管一齐注水，又经过2小时15分才注满水池，如果乙管每小时能注水13立方米，则这个水池的容积是多少立方米？（A）150（B）180 （C）130 （D）210
解：
1、首先转化单位名称：3小时20分=小时；2小时15分=小时
把整池水看成单位“1”，由题意得：
甲管每小时注水：
乙管每小时注水：
则整个水池的容积为13÷=180立方米
例3：有一木桶，底面有一个小孔，如果每小时向桶内注水36升，经过7小时注满一桶水；如果每小时注入42升水，经过5.5小时注满。当停止向桶内注水时，多少小时一桶水将漏光？
解：
1、解决本题的关键是要根据不同速度的注水总量差与时间差找到小孔每小时漏水多少，进而求出满桶水的水量，并解决问题。
2、由条件可知，小孔每小时漏水量为:（36×7-42×5.5）÷（7-5.5）=14（升），所以一满桶的水量为（36-14）×7=154（升）；一满桶水漏光需要154÷14=11（小时）。
28还原问题
【含义】还原问题是典型应用题之一，指已知某数经过四则运算的结果，要求出某数的应用题。
【解题思路和方法】
解这类问题应按题目所述顺序的逆序，施行所述运算的逆运算，就可列出算式。简言之就是反其道而行之就能算出结果。
例1：将一个数先加上6，然后乘6，再减去6，最后除以6，结果还是6，那么这个数是多少？解
1、本题考查的是一个量多次变换还原，关键是从最后的结果出发，根据加减乘除的逆运算进行解答。
2、由最后的结果出发，除以6商是6，那么之前就是6×6=36；减去6是36，那么之前是36+6=42；乘6是42，那么之前是42÷6=7；加上6是7，那么之前数7-6=1。
例2：修路队修一条路，第一天修了全长的一半多20米，第二天修了余下的一半少15米，第三天修了50米，还剩30米没有修，这条路全长多少米？
解：
1、本题考查的是一半与整体关系还原，关键是抓住最后的数量，从后往前推理。
2、根据题意，如果第二天正好修了余下的一半，则剩下（30+50-15）=65（米），用65×2=130（米）就是第一天修完余下的长度；又因为第一天修了全长的一半多20米，如果第一天正好修了全长的一半时，则剩下的是130+20=150（米），这样得出剩下的长度的2倍就是全长，即150×2=300（米）。
例3：甲、乙、丙三人各有连环画若干本，如果甲给乙、丙各5本，乙给甲、丙各10本，丙给甲、乙各15本后，那么三人所拥有的连环画一样多，都是35本，原来甲、乙、丙各有连环画多少本？解：
1、本题考查的是多个量之间的还原关系，我们通常采用列表的方式倒推解决此类问题。
2、根据题意我们可以列表如下：
3、最后每人都有35本，因为丙给甲、乙各15本，所以丙给甲、乙前，丙有35+15×2=65（本），甲、乙各有35-15=20（本）。
4、因为乙给甲、丙各10本，所以乙给甲、丙前，乙有20+10×2=40（本），甲有20-10=10（本），丙有65-10=55（本）。
5、因为甲给乙、丙各5本，所以甲给乙、丙前，甲有10+5×2=20（本），乙有40-5=35（本），丙有55-5=50（本）。
例4：多多在计算有余数的除法时，把被除数115看成了151，结果商比正确的大了3，但余数恰好相同，那么这道题的除数是几？
解：
1、本题考查的是还原问题中的将错就错，商增加了余数不变，根据除数＝被除数÷商，可算出除数。
2、根据题意，因为商比原来多3，但余数不变，所以被除数增加的数即是除数的3倍，即除数为（151-115）÷3＝12。
小学数学易错题集锦
一、填空
1、一个三角形的底角都是45度，它的顶角是度，这个三角形叫做三角形。（注意答案的准确完整）
2、有一根20厘米长的铁丝，用它围成一个对边都是4厘米的四边形，这个四边形可能是（ ）。（注意答案的准确完整）
3、一项工程，甲乙两队合作20天完成，已知甲乙两队的工作效率之比为4：5，甲队单独完成这项工程需要天。（注意工作时间和工作效率的转化）
4、一座钟的时针长3厘米，它的尖端在一昼夜里走过的路程是（ ）厘米。（注意两个关键词）
5、在一块长10分米，宽6分米的长方形铁板上，最多能截取个直径是2分米的圆形铁板。（可把圆看作正方形）
6、3/4吨可以看作3吨的（/ ），也可以看作9吨的（ / ）。（可看成求一个数是另一个数的几分之几）
7、两个正方体的棱长比为1∶3，这两个正方体的表面积比是∶，体积比是∶（ ）。（长度比不变，面积成平方比，体积变立方比）
8、长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个长方体货仓最多可容纳8立方米的正方体货箱（ ）个。（注意高度上不能放整个数，不能用大体积除以小体积，要分层计算）
9、棱长1厘米的小正方体至少需要（ ）个拼成一个较大的正方体，需要（ ）个可以拼成一个棱长1分米的大正方体。如果把这些小正方体依次排成一排，可以排成米。（较大即棱长多1，另注意单位的变化）
10、一个数的20%是100，这个数的3/5是（ ）。（先求单位1，再已知单位1求对应量）
11、六（1）班今天出勤48人，有2人因病请假，这天的出勤率是（ ）。（注意出勤率＝出勤人数除以应出勤总人数乘以100%，得数一定要写成百分数）
12、A除B的商是2，则A∶B=∶（ ）。（看到除和除以一定要小心）
13、甲数的5/8等于乙数的5/12，甲数∶乙数=∶。（甲乙之比不等于两分数之比，另最后一定要写成最简整数比）
14、把4∶15的前项加上2.4，为了要使所得的比值不变，比的后项应加上。（根据比的基本性质，前项增加它的几倍，后项也要增加它的几倍，而不能加或减相同的数）
15、6/5吨：350千克，化简后的比是（ ），比值是。（注意化单位）
16、把甲班人数的1/8调入乙班后两班人数相等，原来甲、乙两班人数比是。（调入不是相差甲班的1/8，而是甲班的两个1/8）
17、甲走的路程是乙的4/5，乙用的时间是甲的4/5，甲、乙速度比是。（速度＝路程除以时间，一定要注意前后两条件顺序不一，最后写成最简整数比）
18、一个数由6个百亿、500个万，8个千，40个十组成，这个数写作（ ），改写成万为单位的数写作（ ），省略亿后面的尾数是（ ）。（注意改写和省略尾数的区别）
19、50以内只含有质因数2的数有。（即不同个数的2相乘）
20、4米的绳，把它平均分成5段，每段是这根绳子的，每段长米，等于1米的。（不带单位是分率，是分数的一般意义，平均分成若干份是分母，选其中的几份是分子，和整体的大小无关；带上单位是量，是分数的除法意义，用整体除以份数）
21、3/8的单位是（ ），要添上个这样的单位是87.5%。
22、在括号里填上一个分母是一位数的分数，3/4＜＜4/5。（可分子分母同时乘以2，找中间数）
23、16和24的最小公倍数是（ ），最大公约数是（ ），最大公约数是最小公倍数的（ ）。
24、用字母表示：
（1）一项工程，甲队独做a天完成，乙队独做b天完成。两队合作，（ ）天完成。
（2）a和7所得和的3倍除以5的商。（ ）
（3）n除m的商。（ ）（看到除和除以一定要小心）
25、一根长2米，横截面直径是6厘米的木棍，截成4段后表面积增加了（ ），它原来的体积是（ ）。（想一想截成4段截了几次增加了几个横截面，另注意单位的变化）
26、x=5b-2b b和x成（ ）比例（把算式化简改写，x和b凑一起是乘还是除，是反比例还是正比例）
27、甲绳是乙绳的4/5， 乙绳比甲绳长（ ）（注意两个量的前后顺序）
28、一个整数以万为单位的近似数是5万，这个数最大是（ ），最小是（ ）。（最大是四舍去一个最大的尾数得到的，最小是五入得到的即进一才是5万尾数必满5且最小）
29、一个直角三角形中，三条边的长分别是6厘米、8厘米、10厘米，这个三角形的面积是平方厘米。（找到两条直角边，分别是底和高）
30、一个圆柱形的玻璃杯，测得内直径是10厘米，内装药水深度有16厘米，正好占杯内容量的80%。如果装满药水，应是毫升。（注意实际高度，可先求药水体积再求容积或先求杯子实际高度再求容积）
31、一本书若定价每本10元，获得的纯利润是25%；如果想使获得的纯利润是40%，则每本书应定价元。（注意单位1是成本，纯利＝定价-成本，定价＝成本×（1+利润率））
32、4/11的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。
33、A和B都是自然数，且A－B=1，那么他们的最大公约数是（ ），最小公倍数是。（A-B＝1，即AB相邻互质）
34、一个两位数，能同时被3和5整除，这个数如果是奇数，最小是；如果是偶数，最大是。（能被5整除个位上是0或5，如是奇数个数是5，如是偶数个位是0）
35、一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字是n，用含有字母的式子表示是。（注意位值原则，数字在不同数位上表示不同的数，m在十位上表示m个十）
36、一个两位小数，它的近似值是4.0，这个数最大是（ ），最小是。（同28）
37、分母是6的最简真分数的和是（ ）。（关键词最简真分数，和）
38、5/7的分数单位是，有个这样的分数单位，再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。（最小的质数是2，整数含有几个分数单位，只需用整数乘以分母）
39、从甲城到乙城，货车要行5小时，客车要行6小时，货车的速度与客车的速度的比是（ ），货车的速度比客车的速度快（ ）%。（注意时间和速度的转化，路程一定速度和时间成反比）
40、甲数是乙数的60%，甲数比乙数少%，乙数比甲数多（ /）。（注意单位1）
41、一个两位数除以2、3、5余数都是1，这个数最小是（ ）。（最小公倍数+余数）
42、把一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体切削成一个最大的正方体，正方体的边长是（ ）。
43、三个连续偶数，中间一个是a，其余两个分别是（ ）（ ），和是（ ）。（相邻两个偶数差是2）
44、N是7的倍数，写出前一个和后一个7的倍数是和。（相邻两个7的倍数相差7）
45、5/6表示把（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，它的分数单位是（ ），再加上个这样的分数单位就等于最小的合数。（最小的合数是4）
46、两个数的最大公约数是1，最小公倍数是72，这两个数是（ ）和（ ）或 （ ）和（ ）。（两个数的乘积＝最大公约数×最小公倍数）
47、3千克苹果平均分给9个小朋友，每个小朋友分得这些苹果的（ ）/（ ），每个小朋友分得（ ）/千克。（同20）
48、一个长方体的表面积是40平方厘米，它刚好可以平分成两个完全相同的小正方体，则每个小正方体的表面积是（ ）平方厘米。（2个小正方体共12个面，拼成长方体时减少了2个面，即长方体的表面积相当于10个小正方体一个面的面积，先求一个面面积，再求6个面）
49、在自然数中，既不是质数，也不是偶数的最小数是（ ）；既是质数，又是偶数的是（ ）；既是奇数又是质数的最小的数是（ ）；既是偶数，又是合数的最小数是（ ）。
50、64006000写成用“万”作单位的数是万，省略万后面的尾数约是。
51、一个梯形，上下底的比是2：5，上底比下底短18厘米，高是5厘米，这个梯形的面积是（ ）平方厘米。（先用数量差除以分率差或份数差求上下底）
52、一根3米长的木棒锯成等长的小段，每次锯下一段，4次锯完，每段长米，每段占全长的（ ）。（想一想4次锯成几段，有单位还是没单位，是量还是分率）
二、判断题
1、分数值越小，分数单位就越小。（分数值既跟分母有关又跟分子有关，分数单位只跟分母有关）
2、7米的1/8与8米的1/7一样长。（注意单位1和分母）
3、不相交的两条直线叫做平行线。（ ）（别忘记前提条件）
4、周长相等的两个长方形，它们的面积也一定相等。
5、两条射线可以组成一个角。（要有公共端点）
6、小王加工99个零件，合格99个，这批零件的合格率是99%。
7、一个体积为1立方分米的物体，它的底面积一定是1平方分米。
8、一个体积为1立方分米的正方体，它的底面积一定是1平方分米。
9、工作效率和工作时间成反比例。（前提工作总量一定）
10、比例尺大的，实际距离也大。（比例尺既和图上距离有关又和实际距离有关，当图上距离相等时，比例尺越大（分母越小或比的后项越小），实际距离越小）
11、如果一个正方形的周长和一个圆的周长相等，那么这个正方形和圆的面积比是∏∶4。
12、比例尺就是前项是1的比。（比例尺＝图上距离：实际距离，也有可能后项是1）
13、1千克的金属比1千克的棉花重。
14、1/100和1%都是分母为100的分数，它们表示的意义相同。
15、圆锥的体积比圆柱体积小2/3。（注意前提）
16、判断成不成比例，如果成比例，指出成什么比例：
（1）、车轮转数一定，所行路程和车轮周长。
（2）、圆锥体积一定，底面积和高。
（4）、4X—5Y=0，（X、Y不等于0），X和Y。（把算式化简改写，X和Y凑一起是乘还是除，是反比例还是正比例）
17、 5名工人5小时加工了5个零件，则1名工人1小时加工1个零件。（连除应用题）
18、在一个数的末尾添上两个0，原数就扩大100倍。（看这个数是整数还是小数）
19、把一个长方形木框拉成平行四边形后，周长和面积都不变。
20、任何长方体，只有相对的两个面才完全相等。（特殊情况下，2个面是正方形，其他4个面完全相同）
21、5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%。（含盐率＝盐÷盐水）
22、正方形、长方形、平行四边形和梯形都是特殊四边形。
23、圆柱体积是圆锥体积的3倍，这两者一定是等底等高。（也可能底是2倍，高是1/2或底等于高，高等于底）
245、长方体中相邻的两个面不可能都是正方形。
25、0.87表示百分之八十七。（0.87表示87个0.01.一般表示一个量，可以带单位，87%是一个分率，表示两个量之间的关系，不能带单位）
三、选择题
1、从甲地开往乙地，客车要10小时，货车要15小时，客车与货车的速度比是（ ）。
A、2：3 B、3：2 C、2：5
2、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形，则围成的（ ）面积最大。
A、长方形 B、正方形 C、圆形
3、一个三角形，经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形，其中一个三角形的内角和是（ ）。（三角形的内角和永远不变）
A、 180°B、90 ° C、不确定
4、自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（ ）
（两个自然数成倍数关系时，最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数）
A、aB、bC、10
5、在除法算式m÷n＝a……b中，（n≠0），下面式子正确的是
A、a＞n B、n＞aC、n＞b
6、老张a岁，小王（a—18）岁，再过x年后，他们相差（ ）岁。（年龄差永远不变）
A、18 B、x C、x+18 D、x—18
7、一个正方形，边长为a厘米，如果把它的边长增加2厘米后，所得到的大正方形比原正方形面积增加平方厘米。
A、2a B、2a+2 C、4a+4
8、y-x=0,y与x
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
四、计算：
（4．5×1．1×4．8）÷（3．3×0．8×0．5） 12.5×2.5×0.8×48
5/9×1.25+4/9÷80% 7÷（7－7×0÷7＋7÷7）
18×45×（5/6+1/5） 2.25×15/4－2.75×9/4＋3×225%
六年级学生在校运动会上得了40分，比五年级得分的2倍少24分。五年级得多少分？（求单位1，最好列方程解答）
用2的平方减去2.5的倒数，所得的差去除120，商是多少？ （看到除和除以一定要小心）
五、应用题
1、一根圆柱形的木料长2米，截成相等的3段，表面积增加24平方厘米，原来的木料的体积是多少立方厘米？（同填空题第25小题，想一想截成3段截了几次增加了几个横截面，另注意单位的变化）
2、一个圆锥形麦堆的底面周长12.56 米，高1.2 米，如果每立方米小麦重500千克。这堆小麦重多少吨？（注意①周长要转化为半径②圆锥体积要乘1/3③最后要化单位）
3、一个长方形的长8厘米，宽4.56厘米，与这个长方形周长相等的圆的面积是多少？
4、一块三角形地的面积是0.8公顷，它的底是400米，它的高是多少米？（求三角形梯形面积时不要忘记除以2，反之求底和高时不要忘记先乘以2，另注意单位1公顷＝10000平方米）
5、一块白布是边长2米的正方形，剪成直角边是2分米的等腰直角三角形小三角巾，最多可以剪多少块？（把两个等腰直角三角形拼成一个小正方形求，或大面积每边都是小面积的整倍数，可以直接用大面积除以小面积，如不是则分求）
6、用12.56分米长的铅丝分别围成一个正方形和圆，圆的面积比正方形面积多多少?
7、小红看一本故事书，3天看了54页，照这样计算，要看完162页的这本书，还需几天？（注意问题，最后不要忘记减去已看的3天）
8、有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？（注意分两种情况，1份的可能是顶角也可能是底角）
9、加工一批布，甲单独做20天完成，乙独做30天完成。两人合做几天完成？如乙每天织600米，甲每天多少米？（工程问题，把工作总量看作单位1，注意工作时间和工作效率的转化）
10、机床厂制造某种机床，每台用钢材1.5吨，实际每台节约0.25吨。结果比原计划多制造10台。原计划造机床多少台？（这类题一定要检验，也可列方程解答，算式法数量关系如下：计划台数＝多用钢材数（多造的×实际每台用的）÷每台节约数）
11、小王按批发价买进一批牙刷，每枝0.35元，零售价每枝0.40元，当还剩下200枝没卖时，小王计算扣除所有成本已获利200元。商店买来牙刷多少枝？(扣除所有成本指实际上已卖出的牙刷总获利还要加上剩下的牙刷的成本,卖出数量＝总获利÷每枝利润，答案5600)
12、某种盐水中盐和水的重量比是1：10。 500克盐要加水多少千克？50.5千克盐水需盐多少克？（第二问中50.5千克是盐水，是盐+水，注意对应）
13、修一条公路，前5天修了它的20%，照这样计算，修完这条路一共要多少天？（比照第7题，注意区别）
14、一台洗衣机标价1450元，现降价20%出售，但售价仍比成本高1/9。这台洗衣机成本多少元？（分清单位1，降价20%出售即售价比标价降低20%，标价为单位1，比成本高1/9是以成本为单位1）
15、要修建一条新路，实际投资了158.8万元，比原计划节约了21.2万元。节约了百分之几？（求一个数比另一个数多或少百分之几，用多或少的量÷单位1的量）
16、单独完成一项工程，甲队要10小时，乙队要15小时。现在甲队先独做2小时后乙队也加入，还需要多少小时？（还需时间＝剩余工作总量（1-甲先独做2小时的工作量）÷甲乙工效和）
17、小林早晨7：30从家去学校，每分钟走50米。刚到学校门口发现数学书没有带，立即沿原路返回，每分钟走70米。到家正好是7：54。小林家离学校多少米？（可根据去的时间（路程÷去时速度）+返回时间（路程÷返回速度）＝总时间列方程解答；也可用比的知识做，去时时间与返回时间之比跟它们的速度比成反比，用总时间24分钟按7：5分配求出去时时间，再乘速度）
18、一个长方体仓库从里面量约长9米。宽6米，高5米。如果放入棱长为2米的正方体木箱，至多可以放进多少只？（如长宽高都能整除棱长，可直接用大体积÷小体积，否则要用去尾法分别求出长宽高除以棱长的整数商，再相乘）
19、某厂会计发现现金多了273.6元，经查帐发现原来是有一笔支出款的小数点点错了一位。问这笔款是多少元？（现金多了即支出少了，小数点点错一位即现支出是实际支出的1/10，求单位1，用少支出的273.6除以少的分率1-1/10）
20、某造纸厂开展节约运动，每天节约用煤1.44吨，如果3千克煤可供发电7.5度，每天节约的煤可供发电多少度？（归一应用题，注意单位）
21、甲乙二人5小时共同完成一批零件，完成任务时甲做了225个。已知乙的工效比甲快2/9。这批零件一共多少个？（可直求乙的工作总量，再求和）
22、有一油坊榨油，100千克的菜籽可榨油38千克，榨1千克油需要菜籽多少千克？1千克菜籽可榨油多少千克？（1什么每什么就除以什么，商的单位和被除数的单位相同）
23、把长48厘米的铁丝折成三条边的比为3∶4∶5的直角三角形，求这个直角三角形的面积。（先按比分配求出两条直角边（短边）的长度）
24、小红家有一桶油连桶重8千克，用去一半后，连桶还重4.5千克，原有油多少千克？（两次重量之差即油的一半）
25、一架飞机所带的燃料最多可以用6小时。去时顺风，每小时飞行1500千米。回来时逆风每小时飞行1200千米。这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？（同第17题）
26、一根绳子，剪去全长的75%，剩下的比全长的1/3少2米，这根绳子全长多少米？（最好列方程解答）
27、修一条路，甲队独修要10天完成，乙队独修3天完成全长的1/5，两队合做，几天完成？
28、造纸厂六月份上半月生产200吨纸，下半月完成了月计划的60%，结果比计划超产40吨，六月份计划造纸多少吨？（最好列方程解答，也可想上半月少产40吨刚好完成月计划，即上半月生产160吨就是月计划的1-60%）
29、生产队种黄瓜10.4公顷，比西红柿多种20%，西红柿用地相当于黄瓜用地的百分之几？
30、一堆煤，第一次用去1/5，第二次用去2/5吨，两次正好用去1吨，这堆煤原有多少吨？
31、一列客车和一列货车同时从甲乙两个城市相对开出，客车每小时行55千米，客车与货车速度的比是11:9，两车开出后5小时相遇，甲乙两个城市间的铁路长多少千米？（先求货车速度，再用速度和×相遇时间）
32、某班50名学生到动物园去参观。门口的价格牌上写着“每人5元；60张以上（包含60张）为团体票，团体票八五折优惠”，这个班怎样买票比较合适？ 如果团休票打八折呢？
33、一块布料，可做10件上衣或15条裤子。王师傅先用这块布料做了5条裤子，剩下的要成套裁做，还能做多少套？（工程问题，把这块布料看作单位1，每件上衣用布1/10，裤子1/15）
34、有盐水750千克，含盐20%，加了一些水后含盐8%，加水多少千克？（加水，盐的重量不变，先求盐的重量，再除以新盐水中的含盐率求出新盐水重量，最后去掉原盐水重量即可）
35、有盐水750千克，含盐8%，需要加盐还是加水多少千克，含盐20%？（含盐率变大要加盐，加盐，水的重量不变，先求水的重量，再除以新盐水中的水的百分率求出新盐水重量，最后去掉原盐水重量即可）
36、某工厂的女工人数是男工的80%，后又调入女工30人，这时女工人数比男工多10%，这个工厂有男工有多少人？（男工人数不变，以男工人数为单位1，调入女工30人即前后女工人数之差，除以前后女工百分率之差1+10%-80%，求出单位1）
37、一项工程，单独做，甲只要10天，乙只要15天，先由两队合做若干天后，乙队因事离开，甲留下直到完工，从开工到完成一共用了8天，乙队离开了几天？（可假设乙没离开，先求出8天的工作总量，去掉工程总量这个单位1即乙离开这几天的工作总量，最后除以乙的工效就好）
38、两层书共有112本，若将第二层的1/9移到第一层，两层书的本数相等，第二层原有多少本书？（注意移动后相等，原相差两个这么多，即第一层原有的是第二层原有的1-1/9×2＝7/9，以第二层原有的为单位1，再用和倍问题解答，数量和÷分率和1+7/9）
39、山东乡今年比去年多造林4公顷，今年造林是去年的6/5，去年、今年各造林多少公顷？（去年的为单位1，用差倍问题解答，数量差÷分率差）
40、一捆电线，第一次用去80米，第二次用去余下的3/5，还剩12米，这捆电线原有多少米？
（用倒推法解题，先求余下的，12÷（1-3/5）对应量除以对应分率，加上第一次即原有）
41、工地上原有一批黄沙，用去1/3后，又运进3吨，这时的黄沙正好占原有黄沙的80%，工地原有黄沙多少吨？（对应量除以对应分率，但要注意：原有的-用去的＝剩下的，现有的-剩下的＝运进的）
42、苹果和梨共重1680千克，苹果比梨少2/3，苹果和梨各重多少千克？（和倍问题）
43、一本160页的故事书，小军第一天看了全书的25%，第二天看了全书的30%，第三天应从第几页看起？（从第几页看起，要先求看了的页数，最后不要忘记+1）
44、小江3天看完一本书，第一天看了全书的20%，第二天比第一天多看了20%，第三天看了28页，这本书共有多少页？（先求第二天看的占全书的百分之几，再用对应量÷对应分率）
45、一袋米重80千克，第一次用去它的3/8，第二次用去余下的2/5，还剩多少千克？（注意转化单位1，余下的是80千克的1-3/8，剩下的是余下的1-2/5）
46、某公司投资建设项目，实际投资60万元，比计划投资节省25%，节省了多少万元？（计划是单位1，一定要实际的÷它的对应分率1-25%先求计划的）
47、某工厂有甲、乙两个车间，甲车间人数占两个车间人数的5/8，从甲车间调出90人以后，甲、乙两个车间人数的比是2：3，原来两个车间一共有多少人？（乙车间人数不变，以乙车间人数为单位1，原来甲车间是乙车间的5/3，现在甲车间是乙车间的2/3，调出人数÷分率差＝乙车间人数，最后求甲车间原有人数和总人数）
48、商店进回一种服装，每套标价600元，为促销减价出售，第一次打八折出售，每套仍能获利20%，这样售出100套后，对剩下的8套服装再打八五折出售，直到售完为止，商店共获利几元？（先求成本，成本＝标价×折扣÷（1+利润率），答案8064元）
49、甲、乙两站相距720千米，一列火车从甲站开往乙站，已经行了全程的5/8，这时火车超过两站中点多少千米？（换个问题对比一下，行了的路程比剩下的多多少千米？）
50、一辆自行车车轮外直径为0.6米，小华骑自行车从家去学校8分钟可到。如果每分钟车轮约转动100周，小华家到学校的路程约多少米？（得数保留整数。）
51.有三根绳子，第一根米，比第二根长，第三根比第二根长米，第三根绳子有多长？（注意有无单位，是量还是分率）
52.一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去米，还剩2.05米。这根绳子原来长多少米？（倒推法解题，注意量率的不同）
53.一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了全程的，这时超过中点90千米。甲、乙两地相距多少千米？（中点看作1/2，对应量÷对应分率差即可）
54.打印一份稿件，若由甲单独打印，要小时完成。若由乙单独打印，要45分钟完成。两人合打，多少小时可以打印完？（注意单位，并要把工作时间转化为工效，单位1÷工效和即可）
55.小琴妈妈七月份的工资收入是1350元，扣除800元后按5﹪的税率缴个人所得税。小琴妈妈应缴个人所得税多少元？（XX税＝应纳税额（本题是收入-扣除）×税率）
56.爸爸6月1日用5000元钱购买了国库券，定期三年，年利率为2.87﹪，到期时爸爸可取回本金和利息多少元？（利息＝本金×年利率×存期年数，最后不要忘记加上本金）
57.学校买来排球25个，买来的足球比排球多3/5，两种球一共买来多少个？（已知单位1先求足球个数，注意问题求总共）
58.少先队员植树，六年级种了45棵，比五年级的还多15棵，五年级种了多少棵树？（单位1要求，最好列方程解答，算式法要逆推，算完要检验）
59.某工地有两堆水泥共900袋。如果从甲堆取出40袋放入乙堆，这时甲堆的水泥是乙堆的4倍，原来乙堆有水泥多少袋？（先数量和总袋数÷倍数和算出现在乙堆水泥的数量，再还原）
60.甲、乙两船从两个港口对开，甲船每小时行30千米，乙船每小时行35千米。乙船开出1小时后，甲船才开出，再经过4小时两船相遇。两个港口相距多少千米？
61.王师傅在一周里，前4天共生产96个零件，后3天平均每天生产26个。这一周平均每天生产零件多少个？（注意前后两个条件的区别）
62.甲、乙两车同时从A、B两城相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行59千米。两车相遇时，甲车多行8千米，求A、B两城的距离。（先用路程差÷速度差求出相遇时间）
63.某班一次考试，平均成绩是78分，其中男生的平均分是77分，女生的平均分是81分，男生人数是女生的多少倍？（设女生人数为1，男生是女生的X倍，列方程解答：81×1+77X＝78×（1+X）解得X＝3；或男生：女生＝（女生平均分-总平均分）：（总平均分-男生平均分））
64.一个学生在爬山中，上山下山共用4小时，如果他上山用2.4小时，原路返回，下山速度是每小时1.5千米，则他的上山速度是每小时多少千米？（上下山速度之比＝上下山时间之比的反比）
65.客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再相遇时，客车比货车多行216千米，求甲、乙两站距离。（相遇时间＝路程差÷速度差，二次共行3个全程，两车路程和（速度和×相遇时间）÷3＝甲乙两站距离）
66.运输队去仓库运水泥，第一天运出总数的，第二天运进水泥36吨，这时仓库里的水泥是原来的87.5%，仓库里原有水泥多少吨？（解法同第41题）
67.少先队员种树，已知成活率是94%，未活的比成活的少44棵，一共种了多少棵树？（想一想，未活的占百分之几，数量差÷分率差）
68.一幅地图上，量得甲、乙两地相距3厘米，乙丙两地相距5厘米，已知甲、乙两地的实际距离是60千米，乙、丙两地的实际距离是多少千米？（可用比例解）
69. 给一间房铺地板，选用边长为3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需要多少块？（注意房间面积一定，方砖面积（不是边长）和数量成反比）
70.用一根60厘米长的铁丝，做一个长宽高之比是3：2：1的长方体框架，这个长方体的表面积是多少平方厘米？（注意按比分配时是把长宽高之和配比，也就是要先把棱长总和÷4，另不要忘记长方体表面积计算公式）
71、一个圆柱体水箱底面直径10分米，高10分米，里面水深6分米，放入石块后，水面距箱口1.5分米，这个石块的体积是多少立方分米？（石块体积＝上升部分水的体积＝底面积×水面上升高度（现水面高度-原水深））
72. 六（1）班40个同学毕业合影留念，前6张照片要10元钱，以后每张加印一张要0.8元，40个同学一人一张照片，平均每人要付多少钱？（分段计费问题，把总钱数分为照相费和加印费两种，先算还要加印多少张，并算出加印费，最后算出总钱数÷人数即可）
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