说到中考,就不得不提中考数学。对于很多考生来说,中考数学就像“恶梦”一样,看到就头痛,但它对于总分的影响又非常大,起到一定的拉分作用,因此大家面对中考数学都是处于一种“又爱又恨”的矛盾心态。
既然要不得不去面对中考数学,那大家就需要学会了解它,进行全面分析和剖解,找到中考试题分布规律,提炼解题规律和方法等,这样才能逐渐提高数学成绩。
就像一份中考数学试卷,最受考生关注的就是压轴题,很多人都以为它非常难,一些考生甚至直接放弃。我们可以对历年中考数学真题卷的压轴题进行分析研究,大家就会发现压轴题第1小题并不难,大部分人都能拿到分数,最难的也就是第3小题。
正常情况下中考数学压轴题一般都由3个小题组成,第1小题最容易得分,考的知识点较为基础;第2小题难度有多提升,但难度一般处于中等程度,最多中等偏上一点,只要考生掌握好基础知识和方法技巧,都能顺利解决;第3小题难度较大,综合性较强,对考生的分析问题和解决问题的能力有一定的要求。
很多考生怕压轴题,其实怕的就是第2和第3 小题,找不到相应的解题思路,下面我们一起来看一个例题。
典型例题分析1:
在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标;
(3)若P为抛物线上的一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q 构成平行四边形时,求点P的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标.
考点分析:
平行四边形——平行四边形的性质、旋转——旋转的性质、二次函数——确定二次函数的表达式(待定系数法)、函数与几何动态——运动产生的面积问题及运动产生的特殊四边形问题、分类讨论思想、实际问题与数学建模——函数模型
题干分析:
(1)先由OA′=OA得到点A′的坐标,再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式;
(2)连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴,交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积=△AMA′的面积+△AMN的面积=OA′MN/2,设点M的横坐标为x,借助抛物线的解析式和AA′的解析式,建立MN的长关于x的函数关系式,再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式,再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标;
(3)在P、N、B、Q 这四个点中,B、Q 这两个点是固定点,因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形,再求解.
解题反思:
(1)求出抛物线上三个点的坐标,就可以用待定系数法确定抛物线的表达式;
(2)在平面直角坐标系中解决运动产生的面积问题时,常设法建立所求面积与运动点的横坐标之间的函数关系式,借助建立的函数关系式再解决面积的最值问题;
(3)在解决运动产生的平行四边形或特殊四边形问题时,先确定其四个顶点中的固定点,分别以固定点的连线为四边形的一边或一条对角线,构造符合要求的图形求解,这类问题的答案往往有多个解,要分类讨论。
很多考生在中考前,为了能突破压轴题,会去重点训练一些难题、怪题、偏题等,实际上做些题目对提高中考数学成绩帮助不大,因为现在命题老师控制压轴题的难度已成为共识,保证压轴题不偏不怪。
就像分析全国各地中考数学试卷的压轴题,很多都是函数综合题、代数与几何的综合题、函数和几何综合题、动态综合问题、分类讨论等主要题型,几何知识方面一般用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识等。
动态综合压轴题是很多考生比较怕的题型,此类题型在图形的变换过程中,探究图形中某些不变的因素,它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。
典型例题分析2:
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;
(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB=90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.
解题反思:
本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等.在(2)中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键,在(3)中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键。本题考查知识点较多,综合性较强,特别是第(2)问和第(3)问难度较大。
解压轴题,切勿掉入“刷题模式”,不要盲目地多做难题,要注意它的逻辑结构,搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的,还是“递进”的,这一点非常重要。
在中考数学中,压轴题有多种综合的方式,在平时的学习过程中,不要老是盯着某种题型,要接触多种题型,应对压轴题,更不能靠猜题、押题。