年武汉市华师一附中关谷分校中考数学模拟试卷（ 3 月份 ） 一．选择题（共 10 小题） 1．《九章算术》中注有 “ 今两算得失相反，要令正负以名之 ”，意思是：今有两数若其意义 相反 ，则分别叫做正数与负数 ．如果水位上升 2米记为 +2 米 ，则水位下降 3米记为 （ ） A． +3 米 B．﹣ 3 米 C． +2 米 D．﹣ 2 米 2．要使分式 有意义，则 x的取值范围是（ ） A． x＝ 1 B． x≠ 1 C． x＝﹣ 1 D． x≠ ﹣ 1 3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．如图几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 6．如图 ，已知抛物线 y＝ x2+2 x﹣ 3，把此抛物线沿 y轴向上平移 ，平移后的抛物线和原抛物 线与经过点（﹣ 2， 0），（ 2， 0）且平行于 y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为 s， 平移的距离为 m，则下列图象中，能表示 s与 m 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D． 7．某个密码锁的密码由三个数字组成 ，每个数字都是 0﹣ 9这十个数字中的一个 ，只有当三 个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A． B． C． D． 8． 如图 ， 直线 y＝ kx（ k＞ 0） 与双曲线 y＝ 交于 A， B两点 ， BC ⊥ x轴于 C， 连接 AC 交 y 轴于 D，下列结论： ① A、 B关于原点对称； ② △ ABC 的面积为定值； ③ D 是 AC 的中 点； ④ S△AOD ＝ ．其中正确结论的个数为（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 9．如图，半径为 4的 ⊙ O 中， CD 为直径，弦 AB ⊥ CD 且过半径 OD 的中点，点 E为 ⊙ O 上一动点， CF ⊥ AE 于点 F．当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D 时，点 F所经过的路
径长为（ ） A． B． C． D． 10 ．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律， 应在（ ） A． A位 B． B位 C． C位 D． D 位 二．填空题（共 6小题） 11 ．计算 的结果是 ． 12 ．某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼时间 （ 单位 ：小时 ），并绘制了如图 的折线统计图，这组数据的中位数是 ，极差是 ，平均数是 ． 13 ．计算： ＝ ． 14 ． E为 ABCD 边 AD 上一点 ， 将 △ ABE 沿 BE 翻折得到 △ FBE ， 点 F在 BD 上 ， 且 EF ＝ DF ．若 ∠ C＝ 52 ° ，那么 ∠ ABE ＝ ． 15 ．已知 a2﹣ 6a﹣ 5＝ 0和 b2﹣ 6b﹣ 5＝ 0中， a≠ b，则 的值是 ． 16 ．如图， ⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 ，点 C是优弧 AB 上的一动点， BD ⊥ BC 交
直线 AC 于点 D，当点 C从 △ ABC 面积最大时运动到 BC 最长时，点 D 所经过的路径长 为 ． 三．解答题（共 8小题） 17 ．计算： x2（﹣ x3） 4． 18 ．如图，点 B在 DC 上， BE 平分 ∠ ABD ， ∠ ABE ＝ ∠ C，求证： BE ∥ AC ．
19 ．为弘扬中华传统文化 ，了解学生整体数学阅读能力 ，某校组次阅读理解大赛的初赛 ，从 中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图 分组 /分 频数 频率 A组 50 ≤ x＜ 60 6 0.12 B组 60 ≤ x＜ 70 a 0.28 C组 70 ≤ x＜ 80 16 0.32 D 组 80 ≤ x＜ 90 10 0.20 E组 90 ≤ x≤ 100 4 0.08 （ 1）表中的 a＝ ；抽取部分学生的成绩的中位数在 组； （ 2）把上面的频数分布直方图补充完整； （ 3）如果成绩达到 90 及 90 分以上者为优秀 ，可推荐参加决赛 ，那么请你估计该校进入 决赛的学生大约有多少人． 20 ．如图，在下列 7× 7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（﹣ 1， 2）、 B（ 3， 3）都是格点． （ 1）将线段 AB 向下平移 2个单位长度 ，得到线段 CD ，请画出四边形 ABDC ，并写出该 四边形的面积；（ 2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形 ABEF ，并写出点 E， F的坐标； （ 3）记平行四边形 ABDC 的面积为 S1，平行四边形 CDEF 的面积为 S2，则 ＝ ．
21 ．已知：如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AE 是角平分线， BM 平分 ∠ ABC 交 AE 于点 M， 经过 B， M 两点的 ⊙ O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F， FB 恰为 ⊙ O 的直径． （ 1）求证： AE 与 ⊙ O 相切； （ 2）当 BC ＝ 4， cos C＝ 时，求 ⊙ O 的半径． 22 ． 某客商准备采购一批特色商品 ， 经调查 ， 用 16000 元采购 A型商品的件数是用 7500 元 采购 B型商品的件数的 2倍，一件 A型商品的进价比一件 B型商品的进价多 10 元． （ 1）求一件 A， B型商品的进价分别为多少元？ （ 2）若该客商购进 A，B型商品共 250 件进行试销 ，其中 A型品的件数不大于 B型商品 的件数，且不小于 80 件，已知 A型商品的售价为 240 元 /件， B型商品的售价为 220 元 / 件 ，且全部售出 ，设购进 A型商品 m 件 ，求该客商销售这批商品的利润 y与 m 之间的函 数关系式，并写出 m 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件 A型商品，就从一件 A型商 品的利润中捐献慈善资金 a元（ 0＜ a＜ 80 ），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的 最大收益是 17100 元，求的 a值． 23 ． 如图 1， 在 △ ABC 中 ， AC ＝ nAB ， ∠ CAB ＝ α， 点 E， F分别在 AB ， AC 上且 EF ∥ BC ， 把 △ AEF 绕点 A顺时针旋转到如图 2的位置．连接 CF ， BE ． （ 1）求证： ∠ ACF ＝ ∠ ABE ； （ 2）若点 M， N分别是 EF ， BC 的中点，当 α＝ 90 ° 时，求证： BE 2+CF 2＝ 4MN 2；
（ 3）如图 3，点 M， N分别在 EF ， BC 上且 ＝ ＝ ，若 n＝ ， α＝ 135 ° ， BE ＝ ，直接写出 MN 的长． 24 ．已知抛物线 y＝ ax2﹣ 2ax+b与 x轴交于点 A（ 3， 0），与 y轴相交于点 B（ 0， ） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）如图 1，P为抛物线上的点 ，且在第二象限 ，若 △ POA 的面积等于 △ POB 的面积 的 2倍，求点 P的坐标； （ 3）如图 2，C为抛物线的顶点 ，在 y轴上是否存在点 D 使 △ DAC 为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的 D 点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．《九章算术》中注有 “ 今两算得失相反，要令正负以名之 ”，意思是：今有两数若其意义 相反 ，则分别叫做正数与负数 ．如果水位上升 2米记为 +2 米 ，则水位下降 3米记为 （ ） A． +3 米 B．﹣ 3 米 C． +2 米 D．﹣ 2 米 【分析】 根据题意，可以知道负数表示下降，问题得以解决． 【解答】 解： ∵ 水位上升 2米记为 +2 米， ∴ ﹣ 3米表示水位下降 3米， 故选： B． 2．要使分式 有意义，则 x的取值范围是（ ） A． x＝ 1 B． x≠ 1 C． x＝﹣ 1 D． x≠ ﹣ 1 【分析】 分式有意义的条件是分母不等于零． 【解答】 解： ∵ 分式 有意义， ∴ x﹣ 1≠ 0． 解得； x≠ 1． 故选： B． 3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 【分析】 画树状图展示所有 4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果 数，然后根据概率公式求解．【解答】 解：画树状图为： 共有 4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率＝ ． 故答案为 ， 故选： A．
4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重 合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答 】解 ：A、不是轴对称图形 ，因为找不到任何这样的一条直线 ，使它沿这条直线折 叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、不是轴对称图形 ，因为找不到任何这样的一条直线 ，使它沿这条直线折叠后 ，直线两 旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形 ，因为找不到任何这样的一条直线 ，使它沿这条直线折叠后 ，直线两 旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选： C． 5．如图几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】 找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【解答】 解：从上面看得到图形为 ， 故选： C． 6．如图 ，已知抛物线 y＝ x2+2 x﹣ 3，把此抛物线沿 y轴向上平移 ，平移后的抛物线和原抛物 线与经过点（﹣ 2， 0），（ 2， 0）且平行于 y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为 s， 平移的距离为 m，则下列图象中，能表示 s与 m 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D． 【分析】 根据图形平移后形状不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形 （矩形）即可判断．【解答 】解 ：如图 ，我们把抛物线沿 y轴向上平移 ，平移后的抛物线和原抛物线及直线 x ＝ 2，x＝﹣ 2所围成的阴影部分的面积 S可以看做和矩形 BB ′ C′ C等积 ，于是可以看 出 S与 m 是正比例函数关系 故选： B． 7．某个密码锁的密码由三个数字组成 ，每个数字都是 0﹣ 9这十个数字中的一个 ，只有当三 个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A． B． C． D． 【分析 】最后一个数字可能是 0～ 9中任一个 ，总共有十种情况 ，其中开锁只有一种情况 ， 利用概率公式进行计算即可．【解答】 解： ∵ 共有 10 个数字， ∴ 一共有 10 种等可能的选择， ∵ 一次能打开密码的只有 1种情况， ∴ 一次能打开该密码的概率为 ． 故选： A． 8． 如图 ， 直线 y＝ kx（ k＞ 0） 与双曲线 y＝ 交于 A， B两点 ， BC ⊥ x轴于 C， 连接 AC 交 y 轴于 D，下列结论： ① A、 B关于原点对称； ② △ ABC 的面积为定值； ③ D 是 AC 的中 点； ④ S△AOD ＝ ．其中正确结论的个数为（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【分析】 根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐 标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关系即 S＝ |k|及三角形中位线的判定作答． 【解答】 解： ① 反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所 以正确；② 根据 A、 B关于原点对称， S△ABC 为即 A点横纵坐标的乘积，为定值 1，所以正确； ③ 因为 AO ＝ BO ， OD ∥ BC ， 所以 OD 为 △ ABC 的中位线 ，即 D 是 AC 中点 ， 所以正确 ； ④ 在 △ ADO 中，因为 AD 和 y轴并不垂直，所以面积不等于 k的一半，即不会等于 ， 所以错误．因此正确的是： ①②③ ， 故选： C． 9．如图，半径为 4的 ⊙ O 中， CD 为直径，弦 AB ⊥ CD 且过半径 OD 的中点，点 E为 ⊙ O
上一动点， CF ⊥ AE 于点 F．当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D 时，点 F所经过的路 径长为（ ） A． B． C． D． 【分析 】连接 AC ，AO ，由 AB ⊥ CD ，利用垂径定理得到 G 为 AB 的中点 ，由中点的定义 确定出 OG 的长，在直角三角形 AOG 中，由 AO 与 OG 的长，利用勾股定理求出 AG 的 长，进而确定出 AB 的长，由 CO +GO 求出 CG 的长，在直角三角形 AGC 中，利用勾股 定理求出 AC 的长 ，由 CF 垂直于 AE ，得到三角形 ACF 始终为直角三角形 ，点 F的运动 轨迹为以 AC 为直径的半圆 ，如图中红线所示 ，当 E位于点 B时 ，CG ⊥ AE ，此时 F与 G 重合 ； 当 E位于 D 时 ， CA ⊥ AE ， 此时 F与 A重合 ， 可得出当点 E从点 B出发顺时针运 动到点 D 时，点 F所经过的路径长 ，在直角三角形 ACG 中，利用锐角三角函数定义 求出 ∠ ACG 的度数 ， 进而确定出 所对圆心角的度数 ， 再由 AC 的长求出半径 ， 利用弧 长公式即可求出 的长，即可求出点 F所经过的路径长． 【解答】 解：连接 AC ， AO ， ∵ AB ⊥ CD ， ∴ G 为 AB 的中点，即 AG ＝ BG ＝ AB ， ∵ ⊙ O 的半径为 4，弦 AB ⊥ CD 且过半径 OD 的中点， ∴ OG ＝ 2， ∴ 在 Rt△ AOG 中，根据勾股定理得： AG ＝ ＝ 2 ， 又 ∵ CG ＝ CO +GO ＝ 4+2 ＝ 6， ∴ 在 Rt△ AGC 中，根据勾股定理得： AC ＝ ＝ 4 ， ∵ CF ⊥ AE ， ∴△ ACF 始终是直角三角形，点 F的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆， 当 E位于点 B时， CG ⊥ AE ，此时 F与 G 重合；当 E位于 D 时， CA ⊥ AE ，此时 F与 A
重合，∴ 当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D 时，点 F所经过的路径长 ， 在 Rt△ ACG 中， tan ∠ ACG ＝ ＝ ， ∴∠ ACG ＝ 30 ° ， ∴ 所对圆心角的度数为 60 ° ， ∵ 直径 AC ＝ 4 ， ∴ 的长为 ＝ π， 则当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D 时，点 F所经过的路径长为 π． 故选： C． 10 ．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律， 应在（ ） A． A位 B． B位 C． C位 D． D 位 【分析】 观察数的位置，发现规律：被 4除余数是 1的排在 D 位，被 4除余数是 2的排 在 A位，被 4除余数是 3的排在 B位，被 4正出的排在 C位．利用规律即可求解． 【解答 】 解 ： 被 4除余数是 1的排在 D 位 ， 被 4除余数是 2的排在 A位 ， 被 4除余数 是 3的排在 B位，被 4整除的排在 C位． ÷ 4＝ 505 ， 所以 排在 C位． 故选： C． 二．填空题（共 6小题） 11 ．计算 的结果是 2 ． 【分析】 根据算术平方根的定义把原式进行化简即可．
【解答】 解： ∵ 22＝ 4， ∴ ＝ 2． 故答案为： 2． 12 ．某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼时间 （ 单位 ：小时 ），并绘制了如图 的折线统计图，这组数据的中位数是 9 ，极差是 4 ，平均数是 9 ． 【分析】 此题根据中位数，极差，平均数的定义解答． 【解答 】解 ：由图可知 ，把 45 个数据从小到大排列 ，中位数是第 23 位数 ，第 23 位是 9， 所以中位数是 9． 这组数据中最大值是 11 ，最小值是 7，所以极差是 11 ﹣ 7＝ 4． 平均数是（ 7× 5+8 × 8+9 × 18+10 × 10+11 × 4） ÷ 45 ＝ 9，所以平均数是 9． 故答案为 9， 4， 9． 13 ．计算： ＝ ﹣ ． 【分析】 先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再求出即可． 【解答】 解：原式＝ ﹣ ＝＝＝﹣ ， 故答案为：﹣ ． 14 ． E为 ABCD 边 AD 上一点 ， 将 △ ABE 沿 BE 翻折得到 △ FBE ， 点 F在 BD 上 ， 且 EF ＝ DF ．若 ∠ C＝ 52 ° ，那么 ∠ ABE ＝ 51 ° ．
【分析】 由平行四边形的性质和折叠的性质得出 ∠ BFE ＝ ∠ A＝ 52 ° ， ∠ FBE ＝ ∠ ABE ， 由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出 ∠ EDF ＝ ∠ DEF ＝ ∠ BFE ＝ 26 ° ，由三角 形内角和定理求出 ∠ ABD ＝ 102 ° ，即可得出 ∠ ABE 的度数． 【解答】 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ A＝ ∠ C＝ 52 ° ， 由折叠的性质得： ∠ BFE ＝ ∠ A＝ 52 ° ， ∠ FBE ＝ ∠ ABE ， ∵ EF ＝ DF ， ∴∠ EDF ＝ ∠ DEF ＝ ∠ BFE ＝ 26 ° ， ∴∠ ABD ＝ 180 ° ﹣ ∠ A﹣ ∠ EDF ＝ 102 ° ， ∴∠ ABE ＝ ∠ ABD ＝ 51 ° ； 故答案为： 51 ° ． 15 ．已知 a2﹣ 6a﹣ 5＝ 0和 b2﹣ 6b﹣ 5＝ 0中， a≠ b，则 的值是 ﹣ ． 【分析 】由 a2﹣ 6a﹣ 5＝ 0和 b2﹣ 6b﹣ 5＝ 0中 ，a≠ b，可知 a、b为方程 x2﹣ 6x﹣ 5＝ 0的 两个根，结合根与系数的关系可得出 a+b＝ 6， ab ＝﹣ 5，将 变化成只含 a+b与 ab 的算式，代入数据即可得出结论．【解答】 解：由已知可得： a、 b为方程 x2﹣ 6x﹣ 5＝ 0的两个根， ∴ a+b＝ 6， ab ＝﹣ 5． ∴ ＝ ＝ ＝﹣ ， 故答案为：﹣ ． 16 ．如图， ⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 ，点 C是优弧 AB 上的一动点， BD ⊥ BC 交 直线 AC 于点 D，当点 C从 △ ABC 面积最大时运动到 BC 最长时，点 D 所经过的路径长 为 π ．
【分析】 如图，以 AB 为边向上作等边三角形 △ ABF ，连接 OA ， OB ， OF ， DF ， OF 交 AB 于 H．说明点 D 的运动轨迹是以 F为圆心， FA 为半径的圆，再利用弧长公式求解即 可．【解答 】 解 ： 如图 ， 以 AB 为边向上作等边三角形 △ ABF ， 连接 OA ， OB ， OF ， DF ， OF 交 AB 于 H． ∵ FA ＝ FB ， OA ＝ OB ， ∴ OF ⊥ AB ， AH ＝ BH ＝ ， ∴ sin ∠ BOH ＝ ， ∴∠ BOH ＝ ∠ AOH ＝ 60 ° ， ∴∠ AOB ＝ 120 ° ∴∠ C＝ ∠ AOB ＝ 60 ° ， ∵ DB ⊥ BC ， ∴∠ DBC ＝ 90 ° ， ∴∠ CDB ＝ 30 ° ，
∵∠ AFB ＝ 60 ° ， ∴∠ ADB ＝ ∠ AFB ， ∴ 点 D 的运动轨迹是以 F为圆心， FA 为半径的圆， ∵ 当点 C从 △ ABC 面积最大时运动到 BC 最长时， BC 绕点 B顺时针旋转了 30 ° ， ∴ BD 绕点 B也旋转了 30 ° ， ∴ 点 D 的轨迹所对的圆心角为 60 ° ， ∴ 运动路径的长＝ ＝ π， 故答案为 π． 三．解答题（共 8小题） 17 ．计算： x2（﹣ x3） 4． 【分析】 原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘方法则计算 即可得到结果．【解答】 解：原式＝ x2x12＝ x14． 18 ．如图，点 B在 DC 上， BE 平分 ∠ ABD ， ∠ ABE ＝ ∠ C，求证： BE ∥ AC ． 【分析】 欲证 BE ∥ AC ，在图中发现 BE 、 AC 被直线 AB 所截，且已知 BE 平分 ∠ ABD ， ∠ ABE ＝ ∠ C，故可按同位角相等，两直线平行进行判断． 【解答】 解： ∵ BE 平分 ∠ ABD ， ∴∠ DBE ＝ ∠ ABE ； ∵∠ ABE ＝ ∠ C， ∴∠ DBE ＝ ∠ C， ∴ BE ∥ AC ． 19 ．为弘扬中华传统文化 ，了解学生整体数学阅读能力 ，某校组次阅读理解大赛的初赛 ，从 中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图 分组 /分 频数 频率
A组 50 ≤ x＜ 60 6 0.12 B组 60 ≤ x＜ 70 a 0.28 C组 70 ≤ x＜ 80 16 0.32 D 组 80 ≤ x＜ 90 10 0.20 E组 90 ≤ x≤ 100 4 0.08 （ 1）表中的 a＝ 14 ；抽取部分学生的成绩的中位数在 C 组； （ 2）把上面的频数分布直方图补充完整； （ 3）如果成绩达到 90 及 90 分以上者为优秀 ，可推荐参加决赛 ，那么请你估计该校进入 决赛的学生大约有多少人．【分析 】（ 1）由 A组频数及其频率可得总人数，总人数乘以 B组频率可得 a的值，根据 中位数的定义可得答案；（ 2）根据以上所求数据可补全图形； （ 3）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】 解 ：（ 1） ∵ 样本容量为 6÷ 0.12 ＝ 50 ， ∴ a＝ 50 × 0.28 ＝ 14 ， ∵ 被调查的总人数为 50 ，其中位数为第 25 、 26 个数据的平均数， 而第 25 、 26 个数据均落在 C组， ∴ 这组数据的中位数落在 C组， 故答案为： 14 、 C； （ 2）补全频数分布直方图如下：
（ 3）估计该校进入决赛的学生大约有 1000 × ＝ 80 （人 ）． 20 ．如图，在下列 7× 7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（﹣ 1， 2）、 B（ 3， 3）都是格点． （ 1）将线段 AB 向下平移 2个单位长度 ，得到线段 CD ，请画出四边形 ABDC ，并写出该 四边形的面积；（ 2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形 ABEF ，并写出点 E， F的坐标； （ 3）记平行四边形 ABDC 的面积为 S1，平行四边形 CDEF 的面积为 S2，则 ＝ ． 【分析 】（ 1）直接利用平移的性质得出 C， D 点坐标进而得出答案； （ 2）直接利用正方形的性质得出 E， F点的位置进而得出答案； （ 3）分别得出 S1和 S2的值，进而得出答案． 【解答】 解 ：（ 1）如图所示：四边形 ABDC 即为所求，该四边形的面积为： 2× 4＝ 8； （ 2）如图所示 ：正方形 ABEF 即为所求 ，点 E，F的坐标分别为 ：（ 4，﹣ 1），（ 0，﹣ 2）； （ 3）∵ 平行四边形 ABDC 的面积为 S1＝ 8，平行四边形 CDEF 的面积为 S2＝ 3× 5﹣ ×
1× 4﹣ × 1× 2﹣ × 1× 4﹣ × 1× 2＝ 9， ∴ ＝ ． 故答案为： ． 21 ．已知：如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AE 是角平分线， BM 平分 ∠ ABC 交 AE 于点 M， 经过 B， M 两点的 ⊙ O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F， FB 恰为 ⊙ O 的直径． （ 1）求证： AE 与 ⊙ O 相切； （ 2）当 BC ＝ 4， cos C＝ 时，求 ⊙ O 的半径． 【分析 】（ 1）连接 OM ，证明 OM ∥ BE ，再结合等腰三角形的性质说明 AE ⊥ BE ，进而证 明 OM ⊥ AE ； （ 2）结合已知求出 AB ，再证明 △ AOM ∽△ ABE ，利用相似三角形的性质计算． 【解答 】（ 1）证明：连接 OM ，则 OM ＝ OB ∴∠ 1＝ ∠ 2 ∵ BM 平分 ∠ ABC ∴∠ 1＝ ∠ 3 ∴∠ 2＝ ∠ 3 ∴ OM ∥ BC
∴∠ AMO ＝ ∠ AEB 在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AE 是角平分线 ∴ AE ⊥ BC ∴∠ AEB ＝ 90 ° ∴∠ AMO ＝ 90 ° ∴ OM ⊥ AE ∵ 点 M 在圆 O 上， ∴ AE 与 ⊙ O 相切； （ 2）解：在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AE 是角平分线 ∴ BE ＝ BC ， ∠ ABC ＝ ∠ C ∵ BC ＝ 4， cos C＝ ∴ BE ＝ 2， cos ∠ ABC ＝ 在 △ ABE 中， ∠ AEB ＝ 90 ° ∴ AB ＝ ＝ 6 设 ⊙ O 的半径为 r，则 AO ＝ 6﹣ r ∵ OM ∥ BC ∴△ AOM ∽△ ABE ∴∴解得∴ ⊙ O 的半径为 ．
22 ． 某客商准备采购一批特色商品 ， 经调查 ， 用 16000 元采购 A型商品的件数是用 7500 元 采购 B型商品的件数的 2倍，一件 A型商品的进价比一件 B型商品的进价多 10 元． （ 1）求一件 A， B型商品的进价分别为多少元？ （ 2）若该客商购进 A，B型商品共 250 件进行试销 ，其中 A型品的件数不大于 B型商品 的件数，且不小于 80 件，已知 A型商品的售价为 240 元 /件， B型商品的售价为 220 元 / 件 ，且全部售出 ，设购进 A型商品 m 件 ，求该客商销售这批商品的利润 y与 m 之间的函 数关系式，并写出 m 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件 A型商品，就从一件 A型商 品的利润中捐献慈善资金 a元（ 0＜ a＜ 80 ），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的 最大收益是 17100 元，求的 a值． 【分析 】（ 1）设一件 B型商品的进价为 x元，则一件 A型商品的进价为（ x+10 ）元．根 据 16000 元采购 A型商品的件数是用 7500 元采购 B型商品的件数的 2倍 ，列出方程即可 解决问题；（ 2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； （ 3）设利润为 w元．则 w＝（ 80 ﹣ a） m+70 （ 250 ﹣ m）＝（ 10 ﹣ a） m+17500 ，分三种 情形讨论即可解决问题，把 w＝ 17100 代入解答即可． 【解答 】解 ：（ 1）设一件 B型商品的进价为 x元 ，则一件 A型商品的进价为 （ x+10 ）元 ． 由题意： ＝ ， 解得 x＝ 150 ， 经检验 x＝ 150 是分式方程的解， 答：一件 B型商品的进价为 150 元，则一件 A型商品的进价为 160 元； （ 2）因为客商购进 A型商品 m 件，所以客商购进 B型商品（ 250 ﹣ m）件． 由题意： y＝ 80 m+70 （ 250 ﹣ m）＝ 10 m+17500 ， ∵ 80 ≤ m≤ 250 ﹣ m， ∴ 80 ≤ m≤ 125 ； （ 3）设利润为 w元．则 w＝（ 80 ﹣ a） m+70 （ 250 ﹣ m）＝（ 10 ﹣ a） m+17500 ， ① 当 10 ﹣ a＞ 0时，即 0＜ a＜ 10 时， w随 m 的增大而增大，所以 m＝ 125 时，最大利润
为（ 18750 ﹣ 125 a）元． ② 当 10 ﹣ a＝ 0时，最大利润为 17500 元． ③ 当 10 ﹣ a＜ 0时，即 10 ＜ a≤ 80 时， w随 m 的增大而减小，所以 m＝ 80 时，最大利润 为（ 18300 ﹣ 80 a）元． ∴ 18750 ﹣ 125 a＝ 17100 或 18300 ﹣ 80 a＝ 17100 ， 解得 a＝ 13.2 （不合题意，舍去）或 15 ． 答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是 17100 元，则 a值为 15 ． 23 ． 如图 1， 在 △ ABC 中 ， AC ＝ nAB ， ∠ CAB ＝ α， 点 E， F分别在 AB ， AC 上且 EF ∥ BC ， 把 △ AEF 绕点 A顺时针旋转到如图 2的位置．连接 CF ， BE ． （ 1）求证： ∠ ACF ＝ ∠ ABE ； （ 2）若点 M， N分别是 EF ， BC 的中点，当 α＝ 90 ° 时，求证： BE 2+CF 2＝ 4MN 2； （ 3）如图 3，点 M， N分别在 EF ， BC 上且 ＝ ＝ ，若 n＝ ， α＝ 135 ° ， BE ＝ ，直接写出 MN 的长． 【分析 】（ 1）证明 △ CAF ∽△ BAE 即可解决问题． （ 2） 延长 BE 交 CF 的延长线于 H， 连接 BF ， 取 BF 的中点 J， 连接 NJ ， JM ， 设 AC 交 BH 于点 O．首先证明 CF ⊥ BE ，利用三角形的中位线定理证明 △ NJM 是直角三角形 ，利 用勾股定理即可解决问题．（ 3）如图 3中，延长 BE 交 CF 的延长线于 H，连接 BF ，在 FB 上取一点 J，使得 FJ ： JB ＝ 1： 2， 连接 NJ ， JM ． 证明 ∠ MJN ＝ 45 ° ， NJ ＝ ， MJ ＝ ， 如图 4中 ， 在 △ NJ M 中，作 MK ⊥ NJ 于 K，解直角三角形求出 MN 即可． 【解答 】（ 1）证明：由如图 1中可知， ∵ EF ∥ BC ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 如图 2中，
∵∠ CAB ＝ ∠ EAF ， ∴∠ CAF ＝ ∠ BAE ， ∵ ＝ ， ∴△ CAF ∽△ BAE ， ∴∠ ACF ＝ ∠ ABE ． （ 2） 证明 ： 延长 BE 交 CF 的延长线于 H， 连接 BF ， 取 BF 的中点 J， 连接 NJ ， JM ， 设 AC 交 BH 于点 O． ∵∠ OCH ＝ ∠ OBA ， ∠ COH ＝ ∠ BOA ， ∴∠ H＝ ∠ OAB ＝ 90 ° ， ∴ CF ⊥ BE ， ∵ CN ＝ BN ， FJ ＝ JB ， ∴ JN ∥ CF ， JN ＝ CF ， ∵ FM ＝ ME ， FJ ＝ JB ， ∴ MJ ∥ BE ， MJ ＝ BE ， ∵ CF ⊥ BE ， ∴ NJ ⊥ JM ， ∴∠ NJM ＝ 90 ° ， ∴ JN 2+JM 2＝ MN 2， ∴ （ CF ） 2+（ BE ） 2＝ MN 2， ∴ BE 2+CF 2＝ 4MN 2． （ 3）解：如图 3中，延长 BE 交 CF 的延长线于 H，连接 BF ，在 FB 上取一点 J，使 得 FJ ： JB ＝ 1： 2，连接 NJ ， JM ．
同法可证 ∠ H＝ ∠ CAB ＝ 135 ° ， ∵ CN ： BN ＝ FJ ： JB ＝ 1： 2， ∴ NJ ∥ CF ， NJ ＝ CF ， ∵ FM ： ME ＝ FJ ： JB ＝ 1： 2， ∴ MJ ∥ BE ， MJ ＝ BE ， ∴△ MJN 中 ∠ MJN 的外角为 135 ° ， ∴∠ MJN ＝ 45 ° ， 由题意 BE ＝ ， CF ＝ 2， ∴ NJ ＝ ， MJ ＝ ， 如图 4中，在 △ NJM 中，作 MK ⊥ NJ 于 K． ∵∠ J＝ ∠ JMK ＝ 45 ° ， MJ ＝ ， ∴ MK ＝ KJ ＝ ， ∴ NK ＝ NJ ﹣ KJ ＝ 1， ∴ MN ＝ ＝ ＝ ． 24 ．已知抛物线 y＝ ax2﹣ 2ax+b与 x轴交于点 A（ 3， 0），与 y轴相交于点 B（ 0， ） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）如图 1，P为抛物线上的点 ，且在第二象限 ，若 △ POA 的面积等于 △ POB 的面积 的 2倍，求点 P的坐标； （ 3）如图 2，C为抛物线的顶点 ，在 y轴上是否存在点 D 使 △ DAC 为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的 D 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析 】（ 1）把已知坐标代入抛物线求出 a， b的值后易求抛物线的解析式． （ 2）求出 OA ， OB 的值后可求出 S1， S2．根据题意求出点 P的坐标． （ 3）易求出 C点的坐标，过点 C作 CE ⊥ y轴于点 E， CG ⊥ x轴于点 G，要使 △ ADC 为 直角三角形 ，可分三种情况讨论 （ 以 AC 为斜边 ，则 D 在以 AC 为直径的圆上 ，取 AC 的 中点 H， OE 的中点 F，连接 HF ；以 CD 为斜边，过点 A作 AD 1⊥ AC 交 y轴于点 D1； 以 AD 为斜边 ， 过点 C作 CD 2⊥ AC 交 y轴于点 D2）， 利用相似三角形的判定以及线段比 求解．【解答】 解 ：（ 1） ∵ 抛物线 y＝ ax2﹣ 2ax+b过 A（ 3， 0）， B（ 0，﹣ ）， ∴ 0＝ 9a﹣ 6a+b﹣ ＝ b， 解得 a＝ ， b＝﹣ ， ∴ 抛物线解析式为 y＝ ﹣ ﹣ ． （ 2）（ xp， yp）， △ PDA 的面积为 S1， △ POB 的面积为 S2， ∵ A（ 3， 0）， B（ 0，﹣ ）， ∴ OA ＝ 3， OB ＝ ， ∴ S1＝ OA |yp|＝ |yp|， S2＝ OB |xp|＝ |xp|， 3分 ∵ P点在第二象限， ∴ S1＝ yp， S2＝﹣ xp，
∵ S1＝ 2s2 ∴ yp＝﹣ xp， ∵ 点 P在抛物线上， ∴ yp＝ xp2﹣ xp﹣ ， ﹣ xp＝ xp2﹣ xp﹣ ， 解得， xp＝ （舍去 ）， xp＝﹣ ， 当 xp＝﹣ 时， yP＝ ， ∴ 点 P的坐标为（﹣ ， ）． （ 3） ∵ C为抛物线的顶点， ∴ C点的坐标为（ 1，﹣ 3），过点 C作 CE ⊥ y轴于点 E， CG ⊥ x轴于点 G，则 CE ＝ 1， CG ＝ 3， 要使 △ ADC 为直角三角形，分三种情况讨论： ① 以 AC 为斜边 ，则 D 在以 AC 为直径的圆上 ，取 AC 的中点 H，OE 的中点 F，连接 HF ， 则 HF 为直角梯形 OECA 的中位线， HF ＝ （ EC +OA ）＝ 2，即圆心 H 到 y轴的距离 为 2，在 Rt△ CGA 中， ∵ CG ＝ 3， AG ＝ 2， ∴ AC ＝ ， AH ＝ ， ∵ ＜ 2， ∴ y轴与 ⊙ H 相离， ∴ y轴上不存在符合条件的 D 点． ② 以 CD 为斜边，过点 A作 AD 1⊥ AC 交 y轴于点 D1， ∵∠ D1AO +∠ OAC ＝ 90 ° ， ∠ GCA +∠ GAC ＝ 90 ° ， ∴∠ D1AO ＝ ∠ ACG ， ∵ AO ＝ CG ， ∴ Rt△ D1A0≌ Rt△ ACG ，
∴ D1O＝ AG ＝ 2， ∴ y轴上存在点 D1（ 0， 2）使 △ D1AC 为直角三角形． ③ 以 AD 为斜边，过点 C作 CD 2⊥ AC 交 y轴于点 D2， ∵∠ D2CA ＝ 90 ° ， ∠ GCE ＝ 90 ° ， ∴∠ D2GE ＝ ∠ ACG ， ∴ Rt△ ACG ∽ Rt△ D2CE ， ∴ ＝ ＝ ， ∵ CE ＝ 1， ∴ ED 2＝ ， ∵ OE ＝ 3， ∴ OD 2＝ OE ﹣ ED 2＝ ， ∴ y轴上存在点 D2（ 0，﹣ ）使 △ D2AC 为直角三角形．
