如图,四边形ABCD是梯形.四边形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=90°,AB∥CD,AB=AD=DE=CD/2,M是线段AE上的动点.
(Ⅰ)试确定点M的位置,使AC∥平面DMF,并说明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
解:(Ⅰ)当M是线段AE的中点时,AC∥平面DMF.
证明如下:
连结CE,交DF于N,连结MN,
由于M、N分别是AE、CE的中点,所以MN∥AC,
由于MN平面DMF,又AC不包含于平面DMF,
∴AC∥平面DMF.
(Ⅱ)过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,
∵AC∥平面DMF,
∴AC∥l,
过点M作MG⊥AD于G,
∵平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,
∴DE⊥平面ABCD,
∴平面ADE⊥平面ABCD,
∴MG⊥平面ABCD,
过G作GH⊥l于H,连结MH,则直线l⊥平面MGH,
∴l⊥MH,
∴∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角.
设AB=2,则DG=1,
考点分析:
二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
题干分析:
(Ⅰ)当M是线段AE的中点时,AC∥平面DMF.连结CE,交DF于N,连结MN,利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF.
(Ⅱ)过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,过点M作MG⊥AD于G,过G作GH⊥l于H,连结MH,由已知条件推导出∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角,由此能求出所求二面角的余弦值.
解题反思:
本题考查直线与平面平行的判定及证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.