欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，有关二次函数压轴题的文章，是一系列讲义，我们会把二次函数与几何结合的各类题型变化与分析思路、解题方法、技巧，细细地梳理一遍，当你第一篇开始，坚持到最后一篇时，你一定会惊讶地发现，曾经困扰着你的二次函数中考压轴题，它就在你的脚下!
今天我们继续聊聊二次函数与特殊四边形存在性问题之四：与正方形结合的存在性问题。
一.知识介绍：
由于正方形太特殊，其中相等的角、边太多，所以解决有关正方形的题目，多采用几何论证方法，最主要围绕这个思路展开：添加辅助线，充分利用正方形的等边或等角，构造全等三角形，依全等性质解题。
二.范例精讲
例1.如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax*2+bx+c与轴相交于A、B两点,顶点为D(0,4),AB=4√2,设点F(m,0)是轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C`
(1)求抛物线C的函数表达式；
(2)若抛物线C`与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围；
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C`上的对应点P`,设M是C上的动点,N是C`上的动点,试探究四边形PMP`N能否成为正方形?若能,求出m的值；若不能,请说明理由。
解析：
（1）∵AB=4√2
∴A（-2√2，0）、B（2√2，0），
把A、B、D三点坐标代入抛物线解析式中，
可得抛物线C的解析式为：
y=-0.5x*2+4.
（2）要想求关于m的取值范围，必须先找出关于m的方程，且是一个一元二次方程，由题可知，这个方程与交点坐标有关，联想到联立方程求交点坐标，说明首先要把两个二次函数解析式求出来或表示出来，问题的突破口找到了，可以着手解答了。
设抛物线C`的顶点坐标为E，
连接DE，作EH⊥x轴由题意可知，
点F在DE上，
且OF=FH=m，
OD=HE=4，
∴E(2m,-4),
∵抛物线C`是由抛物线C绕点F旋转180而得，
∴抛物线C`的解析式为y=0.5(x-2m)*2-4,
解联立方程：
y=-0.5x*2+4, y=0.5(x-2m)*2-4，
化简可得：
x*2-2mx+2m*2-8=0,
∵抛物线C`与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,
∴△>0,方程两根之和会大于O，两根之根也会大于0，
即(-2m)*2-4(2m*2-8)>0,
2m>0,
2m*2-8>0,
解得2<m<2√2.
（3）有关二次函数与特殊多边形的分类讨论题型，可用代数论证方法和几何论证方法解答，一般要设一个未知数，但此题已有一个未知数m，再设一个未知数，用代数办法对解方程会带来很大麻烦，所以首选几何论证办法。，所以必先画出草图，利用正方形性质，结合全等、相似或勾股定理来求解。
设点P的坐标为（n，-0.5n*2+4）,
∵P到两坐标轴的距离相等,且在第一象限内，
∴n=-0.5x*2+4，
解得n=2,
∴P(2,2).
F点是P、P`的中点，
依中点坐标公式可得，
点P`的坐标为（2m-2，-2），
①当点P在点F的右侧时，如图4，
作PQ⊥x轴，MG⊥x轴，
PQ=2,QF=m-2,
∵四边形PMP`N是正方形，
易证△PQF≌△MGF，
则GF=PQ=2，GM=FQ=m-2，
∴OG=m-2,
∴M(m-2,2-m),
∵点M在抛物线C的图像上，
∴-0.5(m-2)*2+4=2-m ,
解得：
m=-3+√17,m=-3-√17（舍去）；
②当点P在点F的右侧时，如图5，
作PQ⊥x轴，MG⊥x轴，
PQ=2,QF=2-m,
∵四边形PMP`N是正方形，
易证△PQF≌△MGF，
则GF=PQ=2，GM=FQ=2-m，
∴OG=m+2,
∴M(m+2,m-2),
∵点M在抛物线C的图像上，
∴-0.5(m-2)*2+4=m-2 ,
解得：m=6,m=0（舍去）；
综上所述，当m=-3+√17或6时，四边形PMP`N为正方形.
例2．如图，抛物线y=-0.5x*2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B（6，0），点C(0,6),点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线于点E，连接BD.
（1）求抛物线的解析式及D点坐标；
（2）若点P是x轴上方抛物线上的动点，点F是平面坐标系中的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着变化，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标.
解析：
（1）代入B、C两点坐标，即可得抛物线解析式为：
y=-0.5x*2+2x+6,
进而可以得出顶点D的坐标为（2，8）；
（2）设P点坐标为（a,-0.5a*2+2a+6）,
①当G在y轴上时，如图2，
过点P分别作x、y轴的垂线PM、PQ，
由正方形的性质易证△PQG≌△PMB，
∴PQ=PM，
即a=-0.5a*2+2a+6,
解得a=1+√13，a=1-√13(舍去)，
∴P点的横坐标为1+√13.
②当F在y轴上时，如图3，
过点P分别作x轴的垂线PM，
由正方形的性质易证△BOF≌△PMB，
∴OB=PM=6，
即-0.5a*2+2a+6=6,
解得a=4，a=0(舍去)，
∴P点的横坐标为4.
③当F在y轴上、G在x轴上，P与C重合时，
四边形PBFG也为正方形，
此时P点的横坐标为0.
综上所述，当PBFG为正方形时，P的横坐标为1+√13、4或0.
三.思路回顾
至此为止，二次函数与特殊多边形的存在性问题所涉及的题型、解题思路与方法，我们一一介绍完毕，从各个实例详解中，我们不难发现，它们在解题思路与方法有很多相似之处，“抓住共处、注意细处”便能从整体上把握二次函数存在性问题中最常见的一类题型的解法。题不在多而在于精，希望从这些例题中，我们能有所启发、有所收获，让这类二次函数的压轴题，解决起来不再是一件很遥远的事情。
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