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二次函数是初中数学的重要知识点，也是数学中考的难点，往往中考试卷的压轴题就是二次函数的相关题型，本文就例题详细讲解这类题型的解题思路，希望能给即将参加中考的考生们提供帮助。
例题
二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=-1/2x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
1、求二次函数的表达式
根据题目中的条件：A点在y轴上，则A点的横坐标为0。
根据题目中的条件和结论：A点在直线y=-1/2x+1上，A点的横坐标为0，则A点坐标代入函数y=-1/2x+1能使等式成立，解得A点坐标为（0,1）。
根据题目中的条件：过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0），则B点横坐标为-3。
根据题目中的条件和结论：B点在直线y=-1/2x+1上，B点的横坐标为-3，则B点坐标代入函数y=-1/2x+1能使等式成立，解得B点坐标为（-3,5/2）。
根据题目中的条件：A（0,1）、B（-3,5/2）、（﹣1，4）在二次函数图像上，则三点坐标代入函数y=ax+bx+c能使等式成立，解得a=-5/4，b=-17/4，c=1，即二次函数的表达式为：y=-5/4x-17/4x+1。
2、求MN的最大值
设N点横坐标为m
根据题目中的条件：N点在二次函数图像上，则N点坐标代入函数y=-5/4x-17/4x+1能使等式成立，解得N点坐标为（m, -5/4m-17/4m+1），即NP=-5/4m-17/4m+1。
根据题目中的条件：过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，N点横坐标为m，则M点、N点的横坐标相等，即M点横坐标为m。
根据题目中的条件和结论：M点在直线y=-1/2x+1上，M点横坐标为m，则M点坐标代入函数y=-1/2x+1能使等式成立，解得M点坐标为（m, -1/2m+1），即MP=-1/2m+1。
根据题目中的条件：MN=NP-MP，NP=-5/4m-17/4m+1，MP=-1/2m+1，则MN=-5/4m-15/4m。
根据题目中的条件：点N在二次函数图像上且在AB上方，则N点横坐标值在A、B两点的横坐标值之间，即满足条件：-3<m<0。
根据二次函数取到最值的条件和结论：MN=-5/4m-15/4m=-5/4（m+3/2）+45/16，此函数为开口朝下的抛物线，当m=-3/2时，MN取到最大值。
根据结论：N点横坐标m的取值范围为：-3<m<0，m=-3/2在取值范围内，所以MN能取到最大值45/16。
3、求N点坐标，使得BM与NC相互垂直平分
根据菱形的判定定理和题目中的条件：对角线互相垂直平分的四边形为菱形，BM与NC相互垂直平分，则四边形BCPN为菱形。
根据菱形的性质定理和结论：菱形的四条边相等，四边形BCPN为菱形，则BC=MN。
根据题目中的条件和结论：B（-3,5/2），MN=-5/4m-15/4m，BC=MN，则BC=5/2=-5/4m-15/4m，解得m=-1或m=-2。
根据结论：N点横坐标m的取值范围为：-3<m<0，m=-2或-1都在取值范围内，所以满足条件的N点横坐标为-2或-1。
根据结论：N点坐标为（m, -5/4m-17/4m+1），m=-1或m=-2，则N点坐标为（-1,4）或（-2,9/2）。
当N点坐标为（-1,4）时
根据两点的距离计算公式和结论：d=√(x1-x2)+（y1-y2），N（-1,4），B（-3,5/2），则BN=5/2，此时BN=BC，符合题目要求。
当N点坐标为（-2,9/2）时
参照上面的计算方法，计算得BN=√5，此时BN≠BC，不符合题目要求，舍去。
所以，当N点坐标为（-1,4）时，使得BM与NC相互垂直平分。
结语
二次函数题的难度在于如何把函数中的变量与特殊几何图形的性质结合起来解题，对付这类题型，一般按如下步骤解题：
利用函数图像上点的坐标，求解函数的表达式，两个函数图像的交点往往是关键点，可以利用函数的解析式进行互相求解；
对于最值问题，往往把需要求解的量用含字母的代数式表示出来，再根据二次函数的最值条件进行求解；
对于二次函数中出现的特殊几何图形，结合函数图像，利用函数表达式、点的坐标及两点间的距离公式进行求解。
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