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最近一段时间分享了四道关于数列的题型：有时间就看一道高考数列题吧、从一道高考数列题探讨数列前n项和求法、高中数学：你们要的带放缩的数列题和高中数学：一道涉及新放缩方法的数列题。在这几篇文章中，笔者总结了数列的通项公式、前 n 项和求法，以及有关数列放缩的一些典型方法。从这几篇文章中我们能感觉到，数列题确实比较灵活，需要我们打开思路，运用学到的各种方法。但如果不作为压轴题出现，也不会太难。今天，我们就看一道高考中作为压轴出现的数列题，题目如下：
这道题是江苏省 年数学卷的最后一题（附加题除外），江苏省高考试卷难度一般比其他省份稍难一丢丢（可能说这句话，部分省份的同学会不赞成），我们来看一下这道题。题目中定义了一个 "M-数列" ，其实这仅仅是一个定义，指的是公比为 1 ，公比为正数的等比数列。第一小题非常简单，求出 {an} 的首项 a1 和公比 q 就可以了：
这样，我们求出了{an} 的首项 a1 = 1, 公比 q = 2 > 0，所以 {an} 为 ”M-数列“。 在之前的文章中笔者说过，就算是压轴大题很难，高考中也不会让你一分不得的，这一小问就是为了让大部分人都能得一部分分，也就是老师常说的送分题。第二小题是一个独立的题，跟第一小题无关。第二小题的第一小问让我们求 {bn} 的通项公式，根据题目已知条件，我们直接使用之前说的最常规的做法：
有人算到这就感觉算不下去了，其实这里面也只有三个量，坚持算下去会有柳暗花明的感觉的：
这样我们得出了{bn} 是一个等差数列，已知 b1=1，我们把 b1=1 代入题目已知的关系式有：
所以得出 bn = n 。这里算起来稍微有一丢丢复杂，但也没达到算不下去的程度，如果你感觉实在算不下去了，你也可以算出前几项来，然后观察前几项总结出通项公式，例如：
我们可以根据前几项的值猜想 bn = n，然后再证明 bn = n 这个通项公式是正确的，很简单，这里就不证明了。我们接下来看第二小题的第二小问，这一问不是一个常规的思路，不能用我们平时讨论的方法解决了，需要我们仔细分析题目：
根据题目的意思，我们只要能找到一个 q>0 满足上述不等式组就可以了。只要我们能保证不等式组的右边所有项都大于等于不等式组左边的所有项，就说明我们可以找到这样一个 q 。这个问题就变成了：我们找到一个最大的 m 使得不等式组的右边所有项都大于左边所有项：
我们只需要不等式组右边的最小值大于等于不等式组左边的最大值就可以了，接下来我们求一下左边的最大值：
易知，当 x = e 时，f(x) 取得最大值，e 介于 2 和 3 之间，我们比较一下，分、 f(2) 和 f(3) 的大小：
所以左边的最大值为 3^(1/3) ，接下来我们看右边的最小值：
所以右边是单调递减的，我们取得最大的 m 使得 m^[1/(m-1)] 大于等于3^(1/3) 就可以了，很明显 m = 4 时成立，我们从 m = 5 开始算：
当 m=6 时，已经不成立了，所以 m 最大可以取 5，这道题就完成了，第一小题和第二小题的前半段思路比较常规，也就是说，有套路可以遵循，但是后一小问就比较新颖，我们需要仔细分析题目的意思，然后找到正确的方法解决。
小结
近期，笔者通过几个数列的题，总结了高考数学中数列题的一般做法，包括通项公式、前 n 项和，放缩的几种常规做法。今天分享的这道数列题作为高考的压轴题，还是有一定难度的，在碰到这种涉及定义新概念的题目，我们要仔细理分析题意，将问题转化成平时学过的内容。以这道题为例，我们将题目转化成求数列最大值和最小值问题，进而转化成求函数单调性的问题，最终解决问题。
最后，用右手螺旋为你们点赞。
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