中考数学压轴题冲刺：因动点产生的45°角的问题
特殊角45°，直角的一半，一直是中考数学压轴题常考题型的常客。无论是二次函数的综合题，还是几何的综合题，无孔不入的45°角，犹如暗夜中的幽灵，无处不在。说不上令考生闻风丧胆，闻角色变，但是它的存在就像平凡道路上的一道坎，将考生们拦截在通往人生巅峰的去路。
然而，中考中碰到这个特殊的45°应该怎么办？
别心急，拿好小板凳，请听分解！
45°角，既是直角的一半，也是等腰直角三角形的一个底角度数。在解题时，只要抓住这个关键点，找出对应的直角，或者利用图形的变换构造出等腰三角形即可，剩下的就交给计算吧。下面从两个经典例题出发，（一道二次函数压轴题，一道几何综合题）看看45°这个妖孽究竟如何在分析解答中一步步被击碎……
二次函数中的45°角
例题1、已知，如图1，抛物线y＝ax^2+bx+3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P是抛物线第一象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M（点M在第二象限），连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ＝45°时，求t值．
【分析】（1）先令x＝0代入抛物线的解析式中求得与y轴交点A的坐标，根据OA＝OC可得C的坐标，从而得B的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）如图2，设P（t，﹣t^2+2t+3）（0＜t＜3），证明△BOQ∽△BGP，列比例式可得结论；
（3）如图3，如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得QN＝OG＝AQ＝t，则△AQN是等腰直角三角形，得AN＝t，由PG∥OK，得PG:OK=CG:OC，求得AK＝3t，证明△NGC是等腰直角三角形，及△AKN∽△NMC，则AK:MN=AN:NC，代入可得t的值，并根据（2）中的点P只在第一象限进行取舍．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、图形与坐标特点等知识，综合性比较强，有一定难度，学会构建三角形相似和全等是本题的关键，另外第三问中正确画出图象也是解决问题的关键．
图形变换中的45°角问题
例题2、问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF＝BE+FD．
【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40（√3﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠GAF＝∠FAE即可得出EF＝BE+FD．
【解答】解：【发现证明】如图（1），
∵△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF．
【点评】此题主要考查了四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形。
