中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。
我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。
本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。
系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。
系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。
初中数学培优 七年级下 第六讲 乘法公式
二、重点难点分析
1.平方差公式是形如"(口+O)"和"(口-O)"的两个多项式相乘（展开后整理即得），即两个多项式一项相同，一项互为相反数，结果等于"口2-O2"(相同项的平方减去相反项的平方)。
2.完全平方公式表示一个二项式的平方,可根据"首平方、尾平方、积的两倍放中央"的口诀记忆，结果是三项式，首尾两项符号为正，中间项当首尾两项的底数同号时为正，异号时为负。
3.乘法公式在代数式的运算中能起到化繁为简的作用，在代数式恒等变形中扮演重要角色。代数式的有些性质通过乘法公式就能简洁地揭示出来。
4. 乘法公式可以逆向运用,也可以变式运用,特别注意完全平方公式将a+b，a-b，ab及a2+b2四个式子紧密联系,只要知道其中两个式子的值就可以求出另两个式子的值。经常考。
5.补充几个重点高中自招常考的公式：
（1）立方差和立方和公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
（2）xn+1-1=（x-1）（xn+xn-1+...+x+1）;
（3）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（4）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2= 2（a2+b2+c2-ab-ac-bc）。
三、例题精选
例1应用乘法公式计算：
（1）（a2-1）（a2+1）； （2）（-x-y2）（y2-x）；
(3)（ ）2； (4)（-b2）（b2-）.
解析：平方差公式中的a、b既可以是一个字母或者数字，也可以是一个单项式、还可以是一个多项式。要灵活运用。比如（2）中的a就是-x。
完全平方公式中的a、b也是如此。
解题过程 (1)原式=a4-1；
(2)原式=（-x）2-y4=x2-y4；
(3)原式=x2-xy+y2；
(4)原式=3ab2-a2-b4.
例2利用乘法公式计算或求值:
(1) 50； (2)19992；
（3）（2y-x-3z）（-x-2y-3z）； （4）（3a-2b+4）(2b-3a+4)+(a-6b)2。
解析：例1中说过a和b可以是数字，可以是多项式。(1)原式=（50+）（50-）=2500-=2499;
(2)原式=（2000-1）2=4000000+1-4000=3996001;
(3)原式=（-x-3z）2-4y2=x2+6xz+9z2-4y2;
(4)原式=16-（3a-2b）2+a2+36b2-12ab=16-9a2+12ab-4b2+a2+36b2-12ab=16-8a2+32b2.
例3(1)已知a+b=5,ab=,求a2+b2和（a-b）2的值;
(2)若（3-a）（2-a）=6，求（3-a）2+（2-a）2的值。
解析：常见题型。整体思想分析题2， 3-a和a-2（已知条件进行变形，因为求值部分（2-a）2=（a-2）2）分别看做一个整体，设为x、y，则xy=-6，x+y=1，则利用完全平方公式就可以求值。
(1) a2+b2=（a+b）2-2ab=22；（a-b）2=（a+b）2-4ab=19；
(2)由分析得：原式=12-2*（-6）=13
例4 我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接计算非常麻烦，若在算式前乘以（2-1），则原式值不变，可以利用平方差公式，最后结果为264-1.
利用这个方法，计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）.
解:原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
=（364-1）.
提醒：别忘记乘以.
例5 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形。
(1)图2中阴影部分的正方形的边长为；
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积。
方法一：
方法二:。
(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式:(m+n)2，(m-n)2,mn.
(4)根据第(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=7,ab=5,则(a-b)2=。
解析：（1）阴影部分正方形边长=m-n；
（2）两种方法求阴影部分面积：方法1、边长的平方=（m-n）2；方法2：阴影部分面积=大正方形面积-图1长方形面积=（m+n）2-4mn。
（3）根据题（2）（m+n）2-4mn=（m-n）2。
（4）由题（3）(a-b)2=（a+b）2-4ab=29.
例6 （1）验证（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2= 2（a2+b2+c2-ab-ac-bc）；
（2）若a-b=2，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-ac-bc。
解：（1）直接展开即可得结果。
（2）由题意c-a=（b-c）-（a-b）-7，
原式=22+52+（-7）2）]=39.
例7 杨辉三角的前四行是这样的：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
（1）根据规律试写出杨辉三角第5行的数字。
（2）（a+b）1=a+b；
（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+10a2b2+4ab3+b4；
根据规律，写出（a+b）5.
解析：杨辉三角，每行数字比上一行多一个，每个数字都是其上一行两个数字之和，每行首尾两个数字都是1.另外每行数字从左到右和从右到左是对称的。
二项式展开后，第一个字母以降幂排列，第二个字母以升幂排列，各项系数即对应的杨辉三角数字。
（1）杨辉三角第5行数字：1 5 10 10 5 1
（2）根据题（1）:（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
四、练一练
1、如图,已知长方形ABCD的周长为16,以长方形的长和宽为边向外作正方形,四个正方形的面积之和为68,求长方形ABCD的面积.
2、若x+=3，则x2+=，x4+=.
3、已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值。
4、若a、b、c满足a-b+c=7，ab+bc+b+c2+16=0,求的值。
答案：
1、设长方形ABCD长为x，宽为y，则2（x2+y2）=68,2（x+y）=16，则长方形面积=xy=[（x+y）2-x2-y2]=15.
2、x2+（x+）2-2x=7,
x4+（x2+）2-2=47.
3、解题套路：一、千万不要上来就做，观察分析题目后试根（读懂命题人的暗示，而且此类题答案基本上是整数）；比如这道题目，由c2-6a=-17，基本判断a是大于等于3的整数。假设a=3（题中-6a也暗示a=3），则b=-1，c=1.二、凑完全平方公式。由假设的答案凑（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0。
答案：a+b+c=3.
4、最常规做法：c=7-a+b代入整理，然后用配方法做。
0= ab+bc+b+c2+16
=ab+b(7-a+b)+b+(7-a+b)2+16
=ab+7b-ab+b2+b+49+a2+b2-14a+14b-2ab+16
=22b+2b2+65+a2-14a-2ab
=2（b2-ab+11b）+a2-14a+65（逐元配方，本题先配b）
=2[b-()]2-2()2+a2-14a+65
=2[b-()]2+(a-3)2
∴a=3,b==-4,c=0代入ab+bc+b+c2+16=0检验正确，防止算错。
∴原式=
