例1 鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?
分析 如果 46只都是兔,一共应有 4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2(只)脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。
解:①鸡有多少只?
(4×6-128)÷(4-2)
=(184-128)÷2
=56÷2
=28(只)
②免有多少只?
46-28=18(只)
答:鸡有28只,免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路:先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡;将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是:
鸡数=(每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然,也可以先假设全是鸡。
例2 鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
分析 这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?
假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200(只)这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加(2+4)=6(只),所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80(只)。
解:(2×100-80)÷(2+4)=20(只)。
100-20=80(只)。
答:鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人,二班比一班多5人,三班比二班少7人,三个班各有多少人?
分析1 我们设想,如果条件中三个班人数同样多,那么,要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示,是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
结合下图可以想,假设二班、三班人数和一班人数相同,以一班为标准,则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2(人).那么,请你算一算,假设二班、三班人数和一班人数同样多,三个班总人数应该是多少?
解法1:
一班:[135-5+(7-5)]÷3=132÷3
=44(人)
二班:44+5=49(人)
三班:49-7=42(人)
答:三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
分析2 假设一、三班人数和二班人数同样多,那么,一班人数比实际要多5人,而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少?
解法2:(135+ 5+ 7)÷3
=147÷3
=49(人)
49-5=44(人),49-7=42(人)
答:三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
想一想:根据解法1、解法2的思路,还可以怎样假设?怎样求解?
例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?
分析 我们分步来考虑:
①假设租的 10条船都是大船,那么船上应该坐 6×10= 60(人)。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-(41+1)=18(人),多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9(条)小船当成大船。
解:[6×10-(41+1)÷(6-4)
= 18÷2=9(条)
10-9=1(条)
答:有9条小船,1条大船。
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿;蜻蜓6条腿,两对翅膀;蝉6条腿,一对翅膀),求蜻蜓有多少只?
分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是6条腿,只有蜘蛛8条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿,则总腿数为 6×18=108(条),所差 118-108=10(条),必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有(118-108)÷(8-6)=5(只)蜘蛛.这样剩下的18-5=13(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手,假设13只都是蝉,则总翅膀数1×13=13(对),比实际数少 20-13=7(对),这是由于蜻蜓有两对翅膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻蜓只数可求7÷(2-1)=7(只).
解:①假设蜘蛛也是6条腿,三种动物共有多少条腿?
6×18=108(条)
②有蜘蛛多少只?
(118-108)÷(8-6)=5(只)
③蜻蜒、蝉共有多少只?
18-5=13(只)
④假设蜻蜒也是一对翅膀,共有多少对翅膀?1×13=13(对)
⑤蜻蜒多少只?
(20-13)÷ 2-1)= 7(只)
答:蜻蜒有7只.
习题
1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张,问两种邮票各买多少张?
2.有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只?
3.松鼠妈妈采松子,晴天每天可采20个,雨天每天可采12个,它一连几天采了112个松子,平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨?
4.蜘蛛有8条腿,蝴蝶有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和一对翅膀,现有这三种动物共21只,共140条腿和 23对翅膀,问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只?
5.体育老师买了运动服上衣和裤子共21件,共用了439元,其中上衣每件24元、裤子每件19元,问老师买上衣和裤子各多少件?
6.鸡、兔共笼,鸡比兔多26只,足数共274只,问鸡、兔各几只?
习题解答
1.解:二元五角= 250分;1角=10分;2角=20分.
①假设都是10分邮票:10×17=170(分)
②比实际少了多少钱? 250-170=80(分)
③每张邮票相差钱数:20-10=10(分)
④有二角邮票多少张? 80÷10=8(张)
⑤有一角邮票多少张?17-8=9(张)
答:二角的邮票有8张,一角的邮票有9张。
2.解:假设全是鸡,则可求得到兔子只数:
(44-2×20)÷(4-2)=2(只)
鸡的只数:20- 2=18(只)
答:鸡有18只,免有2只。
3.解:①松鼠妈妈一共采了几天松子?
112÷14= 8(天)
②假设8天全是睛天,一共应采松子
20×8=160(个)
③比实际采的松子多多少?
160- 112=48(个)
④晴天和雨天每天采的松子相差个数:
20-12= 8(个)
⑤用晴天换雨天的天数:48÷8=6(天)
答:这几天中有6天有雨。
4.解:蜘蛛数:(140- 6×21)÷(8-6)
=14÷2=7(只)
蝴蝶和蝉共有只数:21-7=14(只)
蝉的只数:(2×14-23)÷(2-1)=5(只)
蝴蝶只数:14-5=9(只)
答:蜘蛛有7只,蝴蝶有9只,蝉有5只。
5.解:裤子:(24×21-439)÷(24-19)=13(件)上衣:21-13=8(件)
答:买来上衣8件,裤子13件。
6.设鸡与兔只数一样多:274-2×26=222(只)
每一对鸡、兔共有足:2+4=6(只)
鸡兔共有对数(也就是兔子的只数):
222÷6=37(对)
则鸡有 37+26=63(只)
答:兔的只数为37,鸡的只数为63.