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正数和负数
知识点1：正数和负数的概念
(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。
(2)像－3、－1.5、-1/2、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。
(3)零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。
注意：
(1)为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5也可以写作＋3、＋1.5。
(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。
正数、负数表示：
正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？
我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
有理数
知识点1：有理数的有关概念
有理数：整数和分数统称为有理数。
注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
(3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。
知识点2：有理数的分类
(1)按整数、分数的关系分类：
(2)按正数、负数与0的关系分类：
注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。
知识点3：数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉，形少数是难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！
数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。
1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的定义包含三层含义：
(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
(2)数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
(3)原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。
2.数轴的画法：
(1)画一条直线（一般画成水平的直线）。
(2)在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。
(3)确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。
(4)选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……
注：
(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；
(2)确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；
3.数轴上的点与有理数的关系：
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
4.利用数轴比较有理数的大小：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
知识点4：相反数
1.相反数的定义：
(1)相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如，4与－4互为相反数。
(2)相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数。
2.相反数的性质：
任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
0是唯一一个相反数等于本身的数。反之，如果a=-a，那么a一定是0。
3.相反数的特征：
若a与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）
若a+b=0（或a=-b），则a与b互为相反数。
4.求一个数的相反数的方法：（见书）
5.多重符号的化简：
(1)在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。
(2)在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。
知识点5：绝对值的概念
1.绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“丨a丨”
2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
知识点6：有理数大小的比较
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
利用数轴，在数轴右边的数永远大于左边的数。
有理数的加减法
知识点1：有理数的加法
把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
相加的两个有理数有以下几种情况：
（1）两数都是正数；
（2）两数都是负数；
（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；
（4）一个是正数，一个是0；
（5）一个是负数，一个是0；
（6）两个都是0。
知识点2：有理数加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
知识点3：有理数加法的运算定律
（1）加法交换律：a+b=b+a。
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
知识点4：有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。
知识点5：有理数的加减混合运算
1.有理数加减法统一成加法的意义：
对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。
这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法：
(1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
(2)运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。
有理数的乘除法
知识点1：有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
知识点2：倒数的概念
乘积是1的两个数互为倒数。
由于a×1/a(a≠0) ，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是1/a。若a、b互为倒数，则ab＝1。
知识点3：有理数乘法法则的推广
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。
知识点4：有理数乘法的运算定律
（1）乘法交换律：ab=ba。
（2）乘法结合律：(ab)c=a(bc)。
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac。
知识点5：有理数除法法则
(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)。
(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点6：有理数的乘除混合运算
除转乘，确定符号。
知识点7：有理数的四则混合运算
先乘除，后加减，如果有括号，就先算括号里面的。同级运算中，要按照从左到右的顺序。
有理数的乘方
知识点1：有理数乘方的意义
知识点2：有理数乘方运算的性质
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。0的任何次幂都是0。
知识点3：有理数混合运算的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
知识点4：科学计数法
知识点5：研究近似数的意义
在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。
出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千米；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。
知识点6：有效数字
四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。
方法技巧2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。
方法技巧3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。
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你说，教育不仅仅在课堂，
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你说，教育从来不拘时代，
随时都能回到过去前往未来。
你说，教育不止一种表达，
要让全世界听到你我的声音。
你说，教育不是标准试卷，
属于自己的路值得与众不同。
中国孩子的成长逆袭之路
教育更新换代从我开始
设为星标
