问题补充:
解答题已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.
答案:
解:依题设抛物线C的方程可写为
y2=2px(p>0),
且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为
y=kx(k≠0).①
设A、B分别是A、B关于l的对称点,因而AA⊥l,直线AA的方程为②
由①、②联立解得AA与l的交点M的坐标为.
又M为AA的中点,从而点A的坐标为
xA=,
yA=.③
同理得点B的坐标为
xB=,yB=.④
又A、B均在抛物线y2=2px(p>0)上,由③得,由此知k≠±1,
即⑤
同理由④得.
即.
从而=,
整理得k2-k-1=0.
解得
但当时,由③知,
这与A在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾,故舍去.
设,则直线l的方程为.
将代入⑤,求得.
所以直线方程为.
抛物线方程为.解析分析:先设出抛物线的标准方程和直线l的方程,根据A、B分别是A、B关于l的对称点,进而可知AA⊥l,进而可得直线AA的方程,把两直线方程联立求得交点M的坐标,进而根据M为AA的中点,求得A点的坐标和B的坐标,分别代入抛物线方程求得p的表达式,最后联立求得k,进而求得p,则直线和抛物线的方程可得.点评:本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力.