解答题已知函数f（x）=（a∈R）．（1）用定义证明：当a=3时 函数y=f（x）在[

问题补充：

解答题已知函数f（x）=（a∈R）．

（1）用定义证明：当a=3时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数；

（2）若函数y=f（x）在[1，2]上有最小值-1，求实数a的值．

答案：

解：（1）当a=3时，f（x）=．

任取 x2＞x1≥1，∵f（x2）-f（x1）=-=．

因为 x2＞x1≥1，所以 （x1+1）＞0，（x2+1）＞0，x2-x1＞0，x1+x2+x1x2-3＞0，

∴f（x2）-f（x1）＞0，所以函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数．

（2）根据题意得，f（x）=≥-1在[1，2]上恒成立，且等号能成立．

所以，a≥-x2-x-1=--．

由于函数 y=-x2-x-1在[1，2]上单调递减，所以，x=1时，-x2-x-1取得最大值为-3，∴a≥-3．

当等式 ≥-1，且1≤x≤2，等号成立时，二次函数a=-x2-x-1=--．

由于--≤-3，所以 a≤-3，

综上可得，a=-3．解析分析：（1）当a=3时，f（x）=，任取 x2＞x1≥1，化简f（x2）-f（x1） 大于零，可得函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）根据题意得，f（x）=≥-1在[1，+∞）上恒成立，且等号能成立，故a≥-x2-x-1，求得a≥-3．当不等式中等号成立时，a=-x2-x-1≤-3．综合可得实数a的值．点评：本题主要考查函数的判断和证明，函数单调性的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．