已知函数（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性 并证明你的结论；（2）若f（x）为定义

问题补充：

已知函数（a∈R）．

（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；

（2）若f（x）为定义域上的奇函数，

①求函数f（x）的值域；

②求满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．

答案：

（本小题满分16分）

解：（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），

且，

任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2

则…（3分）

∵y=2x在R上单调递增，且x1＜x2

∴，，，，

∴f（x2）-f（x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）

（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），

即对任意实数x恒成立，

化简得，

∴2a-2=0，即a=1，…（8分）

（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）

①由a=1得，

∵2x+1＞1，∴，…（10分）

∴，∴

故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）

②由a=1，得f（x）＜f（2-x2），

∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x2，…（14分）

解得-2＜x＜1，

故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）

解析分析：（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），且，任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，推导出f（x2）-f（x1）＞0，由此得到f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．（2）由f（x）是定义域上的奇函数，知对任意实数x恒成立，由此能够求出函数f（x）的值域和满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查函数的值域的求法和满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法判断函数的单调性的应用．

已知函数（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性 并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数 ①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a-x2）的x