问题补充:
已知函数.
(1)是否存在a<b且a,b∈[1,+∞),使得当函数f(x)的定义域为[a,b]时,值域为?若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由;
(2)若存在实数a,b(a<b),使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0),求实数m的取值范围.
答案:
解:(1)若存在,则由于当a,b∈[1,+∞)时,在[1,+∞)单调递增,则,可知a,b是方程x2-8x+8=0的实根,求得满足条件…..(6分)
(2)若存在,则易知m>0,a>0
当a,b∈(0,1)时,由于在(0,1)单调递减,则可得f(a)=mb,f(b)=ma,则得,相减得,
由于a≠b,则,所以,∴-1=0,这是不可能的,
故此时不存在实数a,b满足条件;…(8分)
当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,显然1∈[a,b],而f(1)=0则0∈[a,b],矛盾.
故此时也不存在实数a,b满足条件;…(10分)
当a,b∈[1,+∞)时,由于在[1,+∞)单调递增,则f(a)=ma,f(b)=mb,
∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个大于1的实根,
∴由可得m的取值范围是.…(14分)
解析分析:(1)利用函数的单调性,确定函数的最值,即可求得结论;(2)分类讨论,确定函数的单调性,结合函数的值域,即可求实数m的取值范围.
点评:本题考查函数与方程的综合运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
已知函数.(1)是否存在a<b且a b∈[1 +∞) 使得当函数f(x)的定义域为[a b]时 值域为?若存在 求出a b的值 若不存在 说明理由;(2)若存在实数a