问题补充:
已知函数.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,求出这条切线的方程;
(2)当a>0时,求:
①讨论函数f(x)的单调区间;
②对任意的x<-1,恒有f(x)<1,求实数a的取值范围.
答案:
解:(1)f(x)=ax2+x-a+1,得切线斜率为k=f(2)=3a+3---------(2分)
据题设,k=-6,所以a=-3,故有f(2)=3----------------------------(3分)
所以切线方程为y-f(2)=-6(x-2),即6x+y-15=0------------------------(4分)
(2)①
若,则,可知函数f(x)的增区间为和(-1,+∞),减区间为-----------------(6分)
若,则,可知函数f(x)的增区间为(-∞,+∞);------------(7分)
若,则,可知函数f(x)的增区间为(-∞,-1)和,减区间为-------------------------------------(9分)
②当时,据①知函数f(x)在区间上递增,在区间上递减,
所以,当x<-1时,,故只需,即
显然a≠1,变形为,即,解得---------(11分)
当时,据①知函数f(x)在区间(-∞,-1)上递增,则有
只需,解得.----------(13分)
综上,正实数a的取值范围是--------------------------------------------(14分)
解析分析:(1)求导数,可得切线的斜率,从而可求切线的方程;(2)①求导数,分类讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间;②分类讨论,求得函数的最大值,根据对任意的x<-1,恒有f(x)max<1,即可求实数a的取值范围.
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查恒成立问题,属于中档题.
已知函数.(1)若曲线y=f(x)在点(2 f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行 求出这条切线的方程;(2)当a>0时 求:①讨论函数f(x)的单调区间;②对