问题补充:
设直线l:y=g(x),曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有g(x)≥F(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”.
(Ⅰ)已知函数f(x)=x-2sinx.求证:y=x+2为曲线f(x)的“上夹线”.
(Ⅱ)观察下图:
根据上图,试推测曲线S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程,并给出证明.
答案:
解(Ⅰ)由f(x)=1-2cosx=1得cosx=0,(1分)
当x=-时,cosx=0,
此时,,(2分)
y1=y2,所以(,)是直线l与曲线S的一个切点;(3分)
当x=时,cosx=0,
此时,,(4分)
y1=y2,,所以(,)是直线l与曲线S的一个切点;(5分)
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
对任意x∈R,g(x)-F(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx≥0,
所以g(x)≥F(x)(6分)
因此直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线”.(7分)
(Ⅱ)推测:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程为y=mx+n(9分)
①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切,且至少有两个切点:设:F(x)=mx-nsinx
∵F(x)=m-ncosx,令F(x)=m-ncosx=m,得:x=2kπ±(k∈Z)(10分)
当x=2kπ-时,F(2kπ-)=m(2kπ-)+n
故:过曲线F(x)=mx-nsinx上的点2kπ-,m(2kπ-)+n)的切线方程为:
y-[m(2kπ-)+n]=m[-(2kπ-)],化简得:y=mx+n.
即直线y=mx+n与曲线y=F(x)=mx-nsinx相切且有无数个切点.(12分)
不妨设g(x)=mx+n
②下面检验g(x)≥F(x)
∵g(x)-F(x)=m(1+sinx)≥0(n>0)
∴直线y=mx+n是曲线y=F(x)=mx-nsinx的“上夹线”.(14分)
解析分析:(Ⅰ)由f(x)=1-2cosx=1得cosx=0,从而找出直线l与曲线S的两个切点,从而说明直线l与曲线S相切且至少有两个切点,然后根据对任意x∈R,g(x)-F(x)≥0,满足“上夹线”的定义,从而得到结论;(Ⅱ)推测:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程为y=mx+n,然后①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切,且至少有两个切点,②检验g(x)≥F(x)是否成立,从而得到结论.
点评:本题主要考查了函数恒成立问题,以及利用导数研究切线等有关知识,同时考查了转化与划归的思想,属于中档题.
设直线l:y=g(x) 曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有g(x)≥F(x).则称直