问题补充：
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，求BD的长．
答案：
（1）证明：过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，
∴AB-OF=AC．
（2）解：过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1=G1F1=F1H1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1=（A1B+BC1-A1C1）÷2…①
∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1，而CC1=A1A，
∴A1B+BC1=2AB，
因此①式可写成：EF1=（2AB-A1C1）÷2，
即AB-EF1=A1C1．
（3）解：由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E=（A1C1+A1B-BC1）÷2，
如果设CC1=A1A=x，
A1E=[A1C1+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12，
即：（AB+1）2+（AB-1）2=100，
解得AB=7，
∴BD=7．
解析分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO+OF，而AC=2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1=F1G1=F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1=（A1B+BC1-A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB-EF1=A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E、G1、H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E+A1G1=A1C1+A1B-C1E-BG1，由于C1E=C1H1，BG1=BH1，A1E=A1G1因此式子可写成2A1E=A1C1+A1B-BC1，而（A1B-BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．
点评：本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．
如图 在正方形ABCD中 对角线AC与BD相交于点O AF平分∠BAC 交BD于点F．（1）求证：；（2）点A1 点C1分别同时从A C两点出发 以相同的速度运动相同
