问题补充:
已知函数,且函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)如果当x∈(0,1)时,t?g(x)≤f(x)恒成立,求t的取值范围.
答案:
解:(I)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
∴f′(1)=a
∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直
∴f′(1)=1
∴a=1;
(II)由(I)可得,
当x∈(0,1)时,t?g(x)≤f(x)恒成立,即恒成立
∴tlnx≤x-1(0<x<1)恒成立
显然t≤0时,式子不恒成立
t>0时,式子tlnx≤x-1(0<x<1)可化为tlnx-x+1≤0(0<x<1)
构造函数h(x)=tlnx-x+1(0<x<1),
∴
令可得0<x<t,令可得x>t,
∴t∈(0,1),h(t)>h(1)=0,h(x)=tlnx-x+1≤0(0<x<1)不恒成立
t∈[1,+∞),x∈(0,1)时,h(x)<h(1)=0,h(x)=tlnx-x+1≤0(0<x<1)恒成立
综上可得,t的取值范围是[1,+∞).
解析分析:(I)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),求导函数,利用导数的几何意义,结合函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直,可求a的值;(II)由(I)可得,当x∈(0,1)时,t?g(x)≤f(x)恒成立,即恒成立,进而构造函数h(x)=tlnx-x+1(0<x<1),确定函数的单调性,分类讨论,从而可确定t的取值范围.
点评:本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查构造法的运用,考查分类讨论的数学思想.
已知函数 且函数f(x)在点(1 f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.(I)求a的值;(II)如果当x∈(0 1)时 t?g(x)≤f(x)恒成立 求t的取值