问题补充:
如图,在直角坐标系中,OA=OC,AB=4,tan∠BCO=,二次函数y=ax2+bx+c图象经过A、B、C三点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)求过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径.
答案:
解:(1)设OB=x,则OA=OC=4+x;
Rt△OBC中,tan∠BCO==,即:
OC=5OB,4+x=5x,
解得x=1;
∴OB=1,OA=OC=5;
∴A(-5,0),B(-1,0),C(0,5);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x+5),依题意有:
a(0+1)(0+5)=5,a=1;
∴y=(x+1)(x+5)=x2+6x+5;
(3)由(2)知:y=x2+6x+5=(x+3)2-4,则D(-3,-4)
过D作DE⊥x轴于E,则DE必过圆心M,连接BM,
设⊙M的半径为R;
Rt△BME中,BM=R,ME=DE-DM=4-R,BE=AB=2;
由勾股定理得:BM2=ME2+BE2,
即R2=(4-R)2+4,
解得R=2.5;
故过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径为2.5.
解析分析:(1)可用OB表示出OA、OC的长,进而在Rt△OBC中,根据∠BCO的正切值求出OB的长,即可得到OA、OC的长,也就求得了A、B、C的坐标;
(2)用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(3)根据抛物线的解析式可求得D点的坐标;过D作DE⊥x轴于E,根据抛物线与圆的对称性可知DE必过圆心,连接MB(设圆心为M),在Rt△MEB中,可用⊙O的半径表示出ME、MB的长,进而由勾股定理求出⊙O的半径.
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、解直角三角形、垂径定理及勾股定理的应用等知识,难度适中.
如图 在直角坐标系中 OA=OC AB=4 tan∠BCO= 二次函数y=ax2+bx+c图象经过A B C三点.(1)求A B C三点的坐标;(2)求二次函数的解析