问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,点M在X轴上,⊙M与Y轴相切于O点,过点A(2,0)作⊙M的切线,切点为B点,已知:.
(1)求⊙M的半径r;
(2)求点B的坐标;
(3)若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、M三点,求此抛物线的解析式;
(4)在y轴上是否存在点C,使△ABC为直角三角形?若存在,请求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)连接BM,则∠MBA=90°.
直角三角形MBA中,sin∠A==,BM=r,MA=OM+AO=r+2.
因此=,r=2.
(2)过B作BN⊥AM于N,
∵sin∠A=30°
∴∠A=∠MBN=30°,∠BMN=60°
直角三角形BMN中,BM=2,∠BMN=60°,
因此MN=1,BN=.
∴ON=OM-MN=1
因此B的坐标是(-1,).
(3)由于OM=2,
因此M的坐标是(-2,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x+2),
由于抛物线过B(-1,)
可得:a(1-4)=,a=-
因此抛物线的解析式为y=-x2+.
(4)可分三种情况:
①当∠ABC=90°时,C在直线BM上,
直角三角形MCO中,∠CMO=60°,OM=2,
因此OC=2,即C点的坐标为(0,2)
②当∠BAC=90°时,那么∠OAC=90°-∠BAM=60°,直角三角形OAC中
OC=OA?tan60°=2,即C点的坐标为(0,-2)
③当∠BCA=90°时,设C点坐标为(0,y),则
AC2=4+y2,BC2=(-y)2+1,AB2=3+9=12,
根据勾股定理可得:BC2+AC2=AB2
4+y2+(-y)2+1=12,
解得y=,
综上所述,C点的坐标应该是(0,±2)和(0,).
解析分析:(1)可连接BM,根据sin∠A的正弦值,可得出BM:AM=1:2,也就是AM=2BM=OM+OA=BM+OA,因此BM=OA,即可求出r的值.
(2)可过B作BN⊥AM于N,那么ON就是B的横坐标的绝对值,BN就是B的纵坐标.在直角三角形BMN中,已求的了半径的长,又可求得∠BMA=60°,即可求出BN,MN的长,也就求出了ON的长,进而可得出B点的坐标.
(3)已经求的了A,B,M的坐标,可用待定系数法求二次函数的解析式(可用交点式的二次函数通式来设二次函数)
(4)要分三种情况进行讨论:
①当∠ABC=90°时,那么C点就在BM所在直线上,可在直角三角形MOC中,根据OM和∠CMO的度数求出OC的长,即可得出C的坐标.
②当∠BAC=90°时,那么∠OAC=60°,在直角三角形OAC中可根据OA的长求出OC的长,也就得出了C点的坐标
③当∠BCA=90°时,那么AB是斜边,可设出C的坐标,然后用坐标系中两点的距离公式分别表示出AC2,BC2,AB2,然后根据勾股定理即可求出C的坐标.
点评:本题结合圆,三角形的知识考查了二次函数的综合应用,结合几何知识,利用数形结合的思想求解是这类题的基本思路.要注意(4)中要分情况进行讨论,不要漏解.
如图 在平面直角坐标系中 点M在X轴上 ⊙M与Y轴相切于O点 过点A(2 0)作⊙M的切线 切点为B点 已知:.(1)求⊙M的半径r;(2)求点B的坐标;(3)若抛物