问题补充:
如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
(1)求证:AD=ED;
(2)若AD=6,AB=18,求四边形ABFD的面积.
答案:
解:(1)延长DF交BC于点G,
∵∠ABC=90°,AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABGD是矩形,
∴AD=BG,
∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF,
在△BCF和△DCF中,
∵,
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴∠CDF=∠CBF,BF=DF,
在△BGF和△DEF中,
∵,
∴△BGF≌△DEF(ASA),
∴BG=DE,
∴AD=ED;
(2)设DF=x,则BF=DF=x,
所以FG=DG-DF=AB-DF=18-x,BG=AD=6,
在Rt△BFG中,由勾股定理得,BG2+FG2=BF2,
即62+(18-x)2=x2,
整理得,36x=360,
解得x=10,
所以四边形ABFD的面积×(10+18)×6=84.
解析分析:(1)延长DF交BC于点G,可得四边形ABGD是矩形,根据矩形的性质可得AD=BG,然后利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF,全等三角形对应边相等可得BF=DF,再利用“角边角”证明△BGF和△DEF全等,根据全等三角形对应边相等可得BG=DE,从而得证;
(2)设DF=x,然后表示出BF,FG,在Rt△BFG中,利用勾股定理列式求解得到DF的长,再根据梯形的面积公式列式计算即可得解.
点评:本题考查了直角梯形,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,以及梯形的面积求解,难点在于要进行二次三角形全等的证明.
如图 在梯形ABCD中 ∠ABC=90° AD∥BC BC=DC CF平分∠BCD DF∥AB BF的延长线交DC于点E.(1)求证:AD=ED;(2)若AD=6 A