问题补充:
如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,则S4=2S2;④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.
其中正确的结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填在横线上).
答案:
②和④
解析分析:根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3=矩形ABCD面积,以及=,=,即可得出P点一定在AC上.
解答:解:如右图,过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,
∴此时两三角形的高的和为AB,即可得出S1+S3=矩形ABCD面积;
同理可得出S2+S4=矩形ABCD面积;
∴②S2+S4=S1+S3正确,则①S1+S2=S3+S4错误,
③若S3=2S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;故此选项错误;
④若S1=S2,×PF×AD=PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为:=,
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,
∴四边形AEPF是矩形,
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD位似,
∴=,
∴P点在矩形的对角线上.
故④选项正确,
故
如图 P是矩形ABCD内的任意一点 连接PA PB PC PD 得到△PAB △PBC △PCD △PDA 设它们的面积分别是S1 S2 S3 S4 给出如下结论:①