问题补充:
如图所示,在平面直角坐标系中,以y轴上的点P为圆心的OP与x轴交于A、B两点,与y轴交于C.D两点,连接AC.
(1)若点E在AB上,EA=EC,求证:AC2=AE?AB;
(2)若∠BPO=60°,AC=,过点A的直线交y轴正半轴于点M(O,8),点R(x1,y1),Q(x2,y2)在直线y=kx(k>0)上,且x1、x2是方程x2-(k+2)x+4=O的两根;直线AM与直线y=kx交于点N,分别过P、Q,N作x轴的垂线,垂足分别为R’、Q、N.请找出OR,OQ,ON之间的关系式,并加以证明.
答案:
证明:△ACE∽△ABC,
∴=,即AC2=AE?AB,
∵AC2=OC2+OA2=(AE2-OE2)+(OE+AE)2,
=AE2-OE2+OE2+AE2+2OE?AE,
=2AE2+2OE?AE,
=AE?2(AE+OE),
=AE?2OA,
∴AC2=AE?AB.
(2)∵∠BPO=60°,AC=AE,
∴∠OAC=∠ECA=∠BPO=30°,在直角三角形COA中,AC=,
∴OA=4,则直线AM的解析式y=-2x+8,
∵x1、x2是方程x2-(k+2)x+4=O的两根,
∴x1+x2=k+2,x1x2=4,于是+=+=,
又由得交点N的横坐标x=,
显然=,
∴+=.
解析分析:连接BC,证△ACE∽△ABC,根据相似比可求出第一问;根据直角三角形的性质求出AC,OA的长,根据根与系数的关系得到x1+x2=k+2,xxx2=4,于是OR′和OQ′与k的关系,根据的交点N的横坐标,从而求的k和ON′的关系,从而求得关系式.
点评:本题考查相似三角形的判定和性质以及根与系数的关系,两条直线相交或平行的问题的知识点等.
如图所示 在平面直角坐标系中 以y轴上的点P为圆心的OP与x轴交于A B两点 与y轴交于C.D两点 连接AC.(1)若点E在AB上 EA=EC 求证:AC2=AE?A