问题补充:
如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线AD与三角形的外接圆交于点D,AC、BD相交于点P.
求证:(1)△DBC为等腰三角形;
(2)AB:BD=PB:PC.
答案:
证明:(1)∵AD是∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAC,
∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角,
∴∠EAD=∠DCB(圆内接四边形外角等于内对角),
又∵∠DAC=∠DBC,
∴∠DCB=∠DBC,
∴△DBC为等腰三角形.
(2)在△ABP和△DCP中,
∵∠BAP=∠CDP,∠APB=∠DPC,
∴△ABP∽△DCP,
∴AB:DC=PB:PC,
∵△DBC为等腰三角形,
∴BD=DC,
∴AB:BD=PB:PC.
解析分析:(1)欲证△DBC为等腰三角形,需证∠DCB=∠DBC,根据圆周角定理可证∠DAC=∠DBC,根据圆内接四边形的性质可证∠EAD=∠DCB,又已知∠EAD=∠DAC,即∠DCB=∠DBC得证.
(2)根据相似三角形的判定,由∠BAP=∠CDP,∠APB=∠DPC,可证△ABP∽△DCP,得到AB:DC=PB:PC,又由(1)知BD=DC可证AB:BD=PB:PC.
点评:本题考查了圆周角定理,内接四边形的性质,相似三角形的判定和性质,难度适中.
如图 AD是△ABC外角∠EAC的平分线AD与三角形的外接圆交于点D AC BD相交于点P.求证:(1)△DBC为等腰三角形;(2)AB:BD=PB:PC.