问题补充:
如图,正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、AD上,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF.其中正确的是A.、①②B.①②③C.①②④D.①②③④
答案:
C
解析分析:根据正方形的性质由条件CE=DF,可以求出AF=DE,从而证明△BAF≌△ADE,就可以得出AE=BF,S△BAF=S△ADE,∠ABF=∠DAE,再根据等式的性质就可以求出S△AOB=S四边形DEOF.就可以求出∠AOF=90°.连接EF,在Rt△EFD中可以求出EF>DF,就有EF>AF,若AO=OE就有AF=EF,从而得出结论,
解答:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=CD=BC,∠BAD=∠ADC=90°.∵CE=DF,∴AD-DF=CD-CE,即AF=DE.在△BAF和△ADE中,∵,∴△BAF≌△ADE(SAS),∴AE=BF,S△BAF=S△ADE,∠ABF=∠DAE,∴S△BAF-S△AOF=S△ADE-S△AOF,即S△AOB=S四边形DEOF.∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠EAF+∠AFB=90°,∴∠AOF=90°,∴AE⊥BF;连接EF,在Rt△DFE中,∠D=90°,∴EF>DE,∴EF>AF,若AO=OE,且AE⊥BF;∴AF=EF,与EF>AF矛盾,∴假设不成立,∴AO≠OE.∴①②④是正确的,故选C.
点评:本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定与性质的运用,三角形的面积关系的运用及直角三角形的性质的运用,在解答中求证三角形全等是关键.
如图 正方形ABCD中 点E F分别在边CD AD上 且CE=DF AE BF相交于点O 下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形D