问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+14k(k>0)分别交x轴、y轴于A、B两点,过点B的直线交x轴正半轴于点C(7,0),且OB2=OA?OC.
(1)求直线AB的解析式;
(2)点P为线段AB上一点(P不与A、B重合).过点P作BC的平行线分别交x轴、y轴于D、E.设P点的横坐标为m,线段DE的长为d,求d与m的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,若△PEF与△ABC相似,求m的值.
答案:
解:(1)∵直线y=kx+14k交x轴于A点,
∴A(-14,0),
又∵C(7,0),且OB2=OA?OC,
∴B点坐标为(0,7)
设直线AB的解析式为y=kx+b,
,
∴,
∴直线AB的解析式为y=x+7;
(2)方法(1)作PG∥AC交BC于点G,
∵P点的横坐标为m,
∴P(m,m+7),
P点、G点有相同的纵坐标,
∴G(-m,m+7),
∴PG=-m-m=-m,
∵PG∥AC,PE∥BC,
∴四边形PGCD是平行四边形,
①如图1,OD=CD-OC=-m-7,
又∵△DOE为等腰直角三角形,
∴DE=OD,
∴DE=-m-7(-14<m<-),
②如图2,OD=CD-OC=7+m,
∴DE=OD,
∴DE=m+7(-<m<0),
方法(2)作PM⊥AO,
∵OB=OC=7,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
又∵PE∥BC,
∴△DOE、△PMD都是等要直角三角形,
∵P点的横坐标为m,
∴P(m,m+7),
∴PM=MD=m+7,OM=-m,
①如图3,OD=OM-MD=-m-(m+7),
∴OD=-m-7,
又∵DE=OD,
∵DE=-m-7(-14<m<-),
②如图4,OD=OM-MD=m+7+m,OD=m+7,
∵DE=OD,
∴DE=m+7(-<m<0);
(3)作PH⊥BO,
∵PE∥BC,
∴∠FPE=45°,
∴∠FPE=∠BCA=45°,
∴PE=-m,
①如图5,若△PFE∽△CBA,
∴=,
∴=,
解得m=-6,
②如图6,若△PFE∽△CAB,
∴=,
∴=,
解得m=-2,
综上所述,当m=-6或m=-2时,△PEF与△ABC相似.
解析分析:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,先根据题干条件求出A点和B点的坐标,然后根据两点坐标列出一个二元一次方程组,求出k和b的值;
(2)作PG∥AC交BC于点G,用m表示出P和G点的坐标,再证明四边形PGCD是平行四边形,用m表示出OD,结合DE=OD,列出d与m的函数关系式;
(3)作PH⊥BO,用m表示出PE的长,再利用△PFE∽△CBA或△PFE∽△CAB,列出比例等式,求出m的值即可.
点评:本题主要考查一次函数的综合题的知识点,解答本题的关键是熟练利用数形结合进行解答,此题的图较多,利用图形把抽象的文字语言很清楚的表达出来,另外此题还考查了分类讨论的解题思路,此题有一定的难度.
如图 在平面直角坐标系中 直线y=kx+14k(k>0)分别交x轴 y轴于A B两点 过点B的直线交x轴正半轴于点C(7 0) 且OB2=OA?OC.(1)求直线AB