问题补充:
如图,摩天轮的半径为40m,圆心O距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处.
(1)经过4分钟,点P距离地面的高度为多少?
(2)建立如图所示坐标系,求点P距地面的高度h与时刻t(min)的函数关系,
(3)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距地面超过70m?
答案:
解:(1)因为摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,
则经过4分钟P点的位置位于如图所示:
所以经过4分钟,点P距离地面的高度为50+40×sin30°=50+40×=70;
(2)由图形知,可以以点O在地面上的垂足为原点,OP所在直线为Y轴,
与OP垂直的向右的方向为X轴建立坐标系,
由题意P(-,10),A=40,T=3,可得ω=,
故有点P离地面的高度h=40sin(t-)+50
即t时刻点P离地面的高度h=40sin(t-)+50;
(3)令40sin(t-)+50>70得sin(t-)>,
即有<t-<,解得1<t<2,
在旋转一圈的三分钟的时间里,从一分钟开始高度大于70,二分钟开始高度小于70,
故高度大于70的时间一周中有1分钟.
答:一周中有1分钟的时间高度超过70m.
解析分析:(1)因为摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,所以4分钟后P点的位置可以由图看出,利用解三角形可得P距离地面的高度;
(2)由图形知,可以以点O在地面上的垂足为原点,OP所在直线为Y轴,过O在地面上的投影且与OP垂直的向右的方向为X轴建立坐标系,由起始位置在最低点,故可以得出点P的坐标,再由摩天轮作匀速转动,每3min转一圈,知T=3,可得角速度为弧度/分,再结合摩天轮的半径为40m,O点距地面的高度为50m,即可得出确定在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数;
(3)由(2)中的函数,令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间.
点评:本题考查了已知三角函数模型的应用问题,解答本题的关键是建立符合条件的坐标系,得出相应的函数模型,作出正确的示意图,然后再由三角形中的相关知识进行求解,解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件,求解三角形的边与角,是中档题.
如图 摩天轮的半径为40m 圆心O距地面的高度为50m 摩天轮做匀速转动 每3min转一圈 摩天轮上点P的起始位置在最低点处.(1)经过4分钟 点P距离地面的高度为多