问题补充:
如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M,与y轴的交点为A,过点A的直线y=x+c与x轴交于点N,与这个二次函数的图象交于点B.
(1)求点A、B的坐标(用含b、c的式子表示);
(2)当S△BMN=4S△AMN时,求二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,设点P为x轴上的一个动点,那么是否存在这样的点P,使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)
x1=0,x2=2-2b
当x1=0时,y1=c即A(0,c)
当x2=2-2b时,y2=2-2b+c
即B(2-2b,2-2b+c);
(2)2-2b-3c=0,△=0
得b2-2c=0,
联立③,④得
(6+2)(36-2)=0
∴b1=-2,b2=
>0,而a=>0.
∴b<0.
∴b=-2
当b=-2时,代入④得c=2
∴所求二次函数的解析式为:y=x2-2x+2;
(3)存在符合条件的点P
Pl(2+2,0),P2(0,0),P3(2-2,0),P4(-2,0).
解析分析:(1)连接直线AB与抛物线的解析式即可得出A、B的坐标.
(2)根据等高三角形的面积比等于底边比,可知:B点的纵坐标是A点纵坐标的4倍.已知抛物线与x轴只有一个交点,即△=0,可得出另外一个关于b,c的关系式,联立两个关系式即可求得b,c的值.也就能求出二次函数的解析式.
(3)本题要分情况进行讨论:
①PM=AM,那么将M点的坐标向左或向右平移AM个单位即可得出P点的坐标.
②PA=AM,P点在AM的垂直平分线上,易知:M(2,0),A(0,2)因此三角形OMA是等腰直角三角形,O在AM的垂直平分线上,因此P,O重合,P点坐标即为原点坐标.
③PA=AM,P,M关于y轴对称,据此可求出P点的坐标.
综上所述可得出符合条件的P点的坐标.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的交点、等腰三角形的判定等知识点.
在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要分类讨论,不要漏解.
如图 已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M 与y轴的交点为A 过点A的直线y=x+c与x轴交于点N 与这个二次函数的图象交于点B.(1)求点A