问题补充:
如图所示,在等边中△ABC,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图(1),然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°,使B、A、E三点在同一直线上,得到图(2),M、N分别是BD、CE的中点,连接AM、AN、MN得到图(3),请解答下列问题:
(1)在图(2)中,线段BD与线段CE的大小关系是______;
(2)在图(3)中,△AMN与△ABC是相似三角形吗?请证明你的结论.
答案:
解:(1)BD=CE;
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
在图(1)中,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴△ADE是等边三角形,
∵△ADE绕A点顺时针旋转120°,使B、A、E三点在同一直线上,
∴如图(2),AD=AE,∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE;
(2)△AMN与△ABC相似.
证明:∵M、N分别是BD、CE的中点,
∴EN=CE,DM=BD,
∵BD=CE,
∴EN=DM,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠AEN=∠ADM,
在△ADM和△AEN中,
,
∴△ADM≌△AEN(SAS),
∴AM=AN,∠MAD=∠NAE,
∴∠MAN=∠DAE=60°,
∴△AMN也是等边三角形,
∴△AMN∽△ABC.
故
如图所示 在等边中△ABC D E分别是AB AC上的点 DE∥BC 如图(1) 然后将△ADE绕A点顺时针旋转120° 使B A E三点在同一直线上 得到图(2)