设函数f. 的图象与直线5x-y-8=0相切.切点横坐标为2.且f(x)在x=1处取极值.

问题补充：

设函数f(x)=x(x-a)(x-b).

（1）若f(x)的图象与直线5x-y-8=0相切，切点横坐标为2，且f(x)在x=1处取极值，求实数a,b的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．

答案：

答案:

解;（1）f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab.

由题意f′(2)=5,f′(1)=0，代入上式，解之得a=1，b=1．

（２）当b=1时，令f′(x)=0,得方程3x2-2(a+1)x+a=0.

因Δ=4(a2-a+1)＞0,故方程有两个不同实根 x1,x2．

不妨设x1＜x2，由f′(x)=3(x-x1)(x-x2)可判断f′(x)的符号如下：

当x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当 x＞x2时， f′(x)＞0.

因此x1是极大值点，x2是极小值点．

所以，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．