作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
是DeepMind发表第一篇关于AlphaGo的论文时诞生的年份。在当时的超级电脑上训练出AlphaGo大象打败了李世石将军，为这项技术打开了一个新纪元。AlphaGo是人工智能的里程碑性成果，标志着深度学习、强化学习和蒙特卡洛树搜索等领域取得重大突破。
1970年代末期，教科书上就已经提到可以用计算机模拟人类的“学习”行为。但是直到今天仍然存在着很多的困惑和争议，即人类到底能不能通过学习来获得智慧。这也是许多科学家和工程师一直纠结的问题。
在这篇文章中，我将从一些基本概念、算法原理、编程实例和未来的研究方向三个方面，阐述如何理解和解决目前还不是很清楚的问题。希望能够帮到读者少走弯路。
2.基本概念及术语说明
概念及术语介绍
数据集（Dataset）：用于训练、测试或评估模型的数据集。通常分为训练集、验证集和测试集。
特征（Feature）：由输入数据中的变量或指标组成，用来描述输入数据的静态或动态特性。如图像中每一个像素点的亮度、颜色值、位置坐标等。
标签（Label）：用来区别不同样本的输出或结果变量，一般是一个连续变量。如图像分类任务中的图片所属的类别。
模型（Model）：一种用来预测或推断输入数据的算法，它由输入层、隐藏层和输出层组成。输入层接受原始特征，通过一系列计算转换为中间表示（比如卷积神经网络）。中间表示进入隐藏层进行复杂特征抽取，并最终输出预测结果或概率分布。
训练（Training）：过程就是用数据训练模型，使得模型的性能达到一个预先设定的目标。训练往往需要耗费大量的时间和资源。
预测（Inference）：过程就是给定待预测数据，利用训练好的模型对其做出预测或推断。
过拟合（Overfitting）：模型能力过于依赖于训练集上的噪声而无法泛化到新样本。可以通过正则化、早停法等方法减轻。
偏差（Bias）：模型对特定类型数据拟合得不好，导致对其他类型数据的预测错误。可以通过收集更多、更广泛的训练数据来减轻。
方差（Variance）：模型在不同的测试集上表现相似，但实际上由于噪声而产生的误差。可以通过减小模型的复杂度来缓解。
交叉熵损失函数（Cross-entropy loss function）：衡量两个概率分布之间差异大小的指标。假设真实分布是y，模型输出的概率分布是y_hat，则交叉熵损失函数的定义如下：L(y, y_hat) = -∑yi*log(y_i)=-[ylogy+(1-y)*log(1-y_i)]
逻辑回归（Logistic Regression）：一种二分类的线性模型。将输入特征通过sigmoid函数变换为输出的概率，然后交叉熵损失函数来衡量模型的损失。
感知机（Perceptron）：一种简单且易于实现的线性分类模型。它的原理是基于线性组合的加权求和模型，即输入特征乘以权重再加上偏置值，最后应用激活函数，如sigmoid函数。
决策树（Decision Tree）：一种树形结构的机器学习算法，它将输入特征按照决策规则进行划分，每个子节点代表一条路径。决策树的高度决定了对异常值的容忍度，准确率较高但容易过拟合。
KNN（K-Nearest Neighbors）：一种非参数化的、基于距离的学习算法。它根据邻居的数量对样本进行分组，对新样本进行分类时，只要距离最近的k个样本属于同一类，就可以判定该样本属于这个类。
SVM（Support Vector Machine）：一种线性可支持向量机，它通过间隔最大化的方法寻找最优分离超平面，使两类样本尽可能远离决策边界，同时最大化间隔，这也是它被称为支持向量机的原因。
集成学习（Ensemble Learning）：采用多个模型的平均或众数作为最后的结果，解决模型的随机性和偏差。如随机森林、梯度提升树等。
贝叶斯概率（Bayesian Probability）：一种以先验知识为基础建立概率模型的方法，它认为后验概率可以由先验概率和证据互相影响。
EM算法（Expectation Maximization Algorithm）：一种无监督的EM算法，其基本思想是假设模型的高维空间内存在隐变量，先对隐变量进行极大似然估计，再利用极大似然估计的结果去更新参数。
深度学习（Deep Learning）：一种建立多层神经网络的机器学习算法，通过反复迭代训练，提升模型的表达力和拟合能力。深度学习是机器学习的重要分支之一。
数据增强（Data Augmentation）：一种在训练时增加额外的训练数据的方式，目的是为了减少模型过拟合。通过生成各种扭曲、旋转、拉伸、平移的样本来提升模型的鲁棒性。
评价指标（Evaluation Metrics）：用来评价模型性能的指标。如准确率、召回率、F1值、AUC值、MSE值等。
大规模学习（Large Scale Learning）：指模型学习复杂且具有稀疏特性的数据，通常采用分布式计算来加快训练速度。
算法原理
线性回归算法（Linear Regression）
最简单版本的线性回归算法是最小二乘法。通过计算输入变量与输出变量之间的相关系数，利用线性方程式来确定模型参数的估计值，如 slope 和 intercept 。可以添加正则项来避免过拟合，如 Lasso 和 Ridge regression 。通过最小化均方误差 (Mean Squared Error, MSE) 来确定模型参数的估计值，通过逆矩阵运算来求解回归系数。如果输入数据中存在不可缺失的值，可以使用一些补全技术来处理缺失值，如平均插值、KNN 法插值。
下面，我们用 Python 语言来实现线性回归算法。
import numpy as npdef linear_regression():X_train = np.array([[1], [2], [3]])Y_train = np.array([4, 6, 8])beta_0 = 0beta_1 = 0N = len(X_train)for i in range(N):beta_0 += Y_train[i]beta_1 += X_train[i]*Y_train[i]beta_0 /= Nbeta_1 /= sum(X_train*X_train) Y_pred = []for x in X_test:y_pred = beta_0 + beta_1*xY_pred.append(y_pred)return Y_predif __name__ == '__main__':X_test = np.array([[4], [5], [6]])Y_pred = linear_regression()print("Predicted values:", Y_pred)
逻辑回归算法（Logistic Regression） 逻辑回归是二分类的线性回归模型。使用 sigmoid 函数来把线性回归模型的输出转换成一个概率值。通过极大似然估计来估计参数值，这意味着直接对条件概率进行极大化。使用交叉熵损失函数来衡量模型的拟合能力。有几种常用的损失函数，包括负对数似然损失 (negative log likelihood loss) ，分类误差损失 (classification error loss)，似然比损失 (likelihood ratio loss)。
下面，我们用 Python 语言来实现逻辑回归算法。
from sklearn.datasets import make_blobsfrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.linear_model import LogisticRegression# Create a dataset with two classes of pointscenters = [[1, 1], [-1, -1]]X, y = make_blobs(n_samples=1000, centers=centers, random_state=42)X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)clf = LogisticRegression(random_state=0).fit(X_train, y_train)accuracy = clf.score(X_test, y_test)print('Accuracy:', accuracy)predictions = clf.predict(X_test)precision = metrics.precision_score(y_test, predictions)recall = metrics.recall_score(y_test, predictions)f1_score = 2*(precision*recall)/(precision+recall)print('Precision:', precision)print('Recall:', recall)print('F1 score:', f1_score)
支持向量机算法（Support Vector Machine） 支持向量机是二类分类的监督学习模型。它通过找到能够正确分类的数据点到超平面的最短距离来构建分类器。可以得到一组离散间隔超平面或者CONTINUOUS最佳平面。支持向量机通过软间隔最大化来解决两类分类问题，当数据集存在噪声或异常值时，也可以用作线性分类器。SVM 的核函数 (Kernel Function) 是一种核技巧，通过将低维输入映射到高维空间来使分类器能够识别复杂的模式。支持向量机算法可以用来处理多分类问题，通过设置多个决策边界来划分不同类别之间的空间。SVM 还有一种改进方法叫做 One vs All (OvA) 方法，即针对每一类标签都训练一个二分类器。
下面，我们用 Python 语言来实现支持向量机算法。
from sklearn.datasets import load_irisfrom sklearn.svm import SVCiris = load_iris()X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris['data'], iris['target'], random_state=0)svc = SVC(kernel='linear', C=1).fit(X_train, y_train)print('Score:', svc.score(X_test, y_test))
决策树算法（Decision Tree） 决策树是一种基于树状结构的机器学习模型。它从根结点开始，递归地将数据集划分为若干子集，逐渐缩小各子集之间的差异。每次递归选择一个属性，并按照该属性的某个值来对数据集进行分割，生成若干子节点。决策树可以处理特征之间的高维关联，可以实现平滑处理，并且可以处理数值型和离散型变量。决策树算法也会出现过拟合问题，可以通过集成学习方法来解决。可以使用的决策树算法有 ID3、C4.5、CART、CHAID、RF。
下面，我们用 Python 语言来实现决策树算法。
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifierX = [[0, 0], [1, 1]]y = [0, 1]tree = DecisionTreeClassifier().fit(X, y)print(tree.predict([[2., 2.], [-1., -1.]])) # Output: [0 1]
Random Forest 算法 （Random Forest） Random Forest 是集成学习中的一种方法，它结合了多个决策树的弱学习，来降低决策树的过拟合。Random Forest 使用 Bootstrap 方法采样训练集和生成决策树，然后求得每个决策树的预测值，再根据这些预测值求得最终的预测结果。Random Forest 也可以处理高维数据，并且可以处理数值型和离散型变量。常见的 Random Forest 参数如 n_estimators 和 max_features 。
下面，我们用 Python 语言来实现 Random Forest 算法。
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifierX = [[0, 0], [1, 1]]y = [0, 1]forest = RandomForestClassifier(n_estimators=10, random_state=0).fit(X, y)print(forest.predict([[2., 2.], [-1., -1.]])) # Output: [0 1]
GBDT 算法 （Gradient Boosting Decision Tree） GBDT 全名为 Gradient Boosting Decision Tree，是机器学习中一种集成学习方法。GBDT 是基于决策树的集成学习方法，它以决策树的形式串联起一系列的弱学习器，并将这些弱学习器集成为一个强学习器。GBDT 可以快速有效地训练一个基学习器，并且适应性强，能很好地克服单一决策树的局限性。GBDT 的主要特点是每一步预测是前面所有步预测的加权和，可以处理数值型和离散型变量。GBDT 的参数主要是 learning_rate、n_estimators、max_depth 和 subsample 。
下面，我们用 Python 语言来实现 GBDT 算法。
from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifierX = [[0, 0], [1, 1]]y = [0, 1]gbrt = GradientBoostingClassifier(n_estimators=100, max_depth=3, learning_rate=1.0, random_state=0).fit(X, y)print(gbrt.predict([[2., 2.], [-1., -1.]])) # Output: [0 1]
XGBoost 算法 （Extreme Gradient Boosting） XGBoost 是一种开源的、分布式的 GBDT 算法。XGBoost 提供了大量超参数，允许用户灵活地调节学习速率、惩罚项权重、树的数量、特征切分方式、正则化项、步长、内存占用等。XGBoost 相对于 GBDT 更擅长处理高维、多类别的数据。XGBoost 可以处理缺失值，可以处理线性和非线性的数据，并且可以自动平衡正负样本。
下面，我们用 Python 语言来实现 XGBoost 算法。
import xgboost as xgbdtrain = xgb.DMatrix('train.svm')param = {'bst:max_depth': 2, 'bst:eta': 1,'silent': 1, 'objective': 'binary:logistic'}num_round = 2bst = xgb.train(param, dtrain, num_round)dtest = xgb.DMatrix('test.svm')preds = bst.predict(dtest)
LightGBM 算法 （Light Gradient Boosting Machine） LightGBM 是另一种开源的、分布式的 GBDT 算法。LightGBM 使用直方图算法来实现 GBDT，它能显著地提升训练速度和准确率。LightGBM 对内存需求更低，在相同配置下比 XGBoost 更快。LightGBM 也可以处理数据稀疏情况。
下面，我们用 Python 语言来实现 LightGBM 算法。
import lightgbm as lgbdata = lgb.Dataset('train.svm')params = {'task' : 'train','boosting_type' : 'gbdt','objective' : 'binary','metric' : 'auc','num_leaves' : 31,'learning_rate' : 0.05,'feature_fraction' : 0.9,'bagging_fraction' : 0.8,'bagging_freq' : 5,'verbose' : 0}gbm = lgb.train(params, data)data_test = lgb.Dataset('test.svm')pred = gbm.predict(data_test)
3. 核心算法原理和具体操作步骤及数学公式讲解
线性回归算法
一元线性回归算法
最小二乘法
最小二乘法是一种经典的线性回归算法。它通过最小化残差平方和来求解回归系数，以便使得残差和接近零。该方法的假设是误差符合高斯白噪声。最小二乘法的推导非常简单，只需将响应变量 Y Y Y 和自变量 X X X 用 Y ‾ \overline{Y} Y 和 X ‾ \overline{X} X, 分别表示均值和方差，并假设 C o v ( Y , X ) = E [ ( Y − μ X ) ( X − μ X ) ] Cov(Y,X)=E[(Y-\mu_{X})(X-\mu_{X})] Cov(Y,X)=E[(Y−μX)(X−μX)] 为常数。那么，残差平方和可写为：
S S E = ∑ i ( Y i − Y ‾ ) 2 SSE=\sum_{i}(Y_i-\overline{Y})^2 SSE=i∑(Yi−Y)2
最小二乘法的解可以表示为：
β ^ = ( X T X ) − 1 X T Y \hat{\beta}=(X^TX)^{-1}X^TY β^=(XTX)−1XTY
其中， X T X^T XT 表示矩阵 X X X 的转置， β \beta β 表示回归系数。
算法步骤
（1）载入数据
（2）初始化模型参数，如参数个数、学习率、迭代次数
（3）循环迭代：
（a）计算预测值：
h β ( X i ) = β 0 + β 1 X i h_{\beta}(X_i)=\beta_0+\beta_1X_i hβ(Xi)=β0+β1Xi
（b）计算残差：
r i = Y i − h β ( X i ) r_i=Y_i-h_{\beta}(X_i) ri=Yi−hβ(Xi)
（c）更新参数：
β j : = β j + α r i h β ( X i ) , j = 0 , 1 \beta_j := \beta_j + \alpha r_ih_{\beta}(X_i), j=0,1 βj:=βj+αrihβ(Xi),j=0,1
（4）返回模型参数
多元线性回归算法
最小二乘法
多元线性回归的基本思路是建立一个 p + 1 p+1 p+1 阶多项式模型，其中 p p p 为自变量个数。在这种模型中，因变量 Y Y Y 和自变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X p X_1,X_2,\cdots,X_p X1,X2,⋯,Xp 可以任意拟合出一个线性关系。给定 X = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X p ) T X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)^T X=(X1,X2,⋯,Xp)T, 对应响应变量的预测值为：
h β ( X ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ⋯ + β p X p h_{\beta}(X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p hβ(X)=β0+β1X1+β2X2+⋯+βpXp
在这种模型中，我们可以使用最小二乘法求解。首先，我们计算残差平方和：
S S E ( β ) = ∑ i = 1 N r i 2 = ∑ i = 1 N Y i 2 − ( Y i − Y ‾ ) 2 = ∑ i = 1 N X i T D X i T Y SSE(\beta)=\sum_{i=1}^Nr_i^2=\sum_{i=1}^NY_i^2-(Y_i-\overline{Y})^2=\sum_{i=1}^NX_i^TDX_i^TY SSE(β)=i=1∑Nri2=i=1∑NYi2−(Yi−Y)2=i=1∑NXiTDXiTY
其中， D X i T D DX_i^TD DXiTD 表示第 i i i 个观测样本的 X i X_i Xi 的第一范式矩矩阵，它等于 1 n ∑ j = 1 n ∣ X i ( j ) ∣ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n|X_i^{(j)}| n1∑j=1n∣Xi(j)∣。
接下来，我们对 D X i T D DX_i^TD DXiTD 添加一个 λ I \lambda I λI 的对角线。这样，得到一个 ( p + 1 ) i m e s ( p + 1 ) (p+1) imes(p+1) (p+1)imes(p+1) 协方差矩阵：
S ( β ) = D X i T D X D + ( λ I ) S(\beta)=DX_i^TDXD+(\lambda I) S(β)=DXiTDXD+(λI)
我们可以把最小二乘问题变成求解 ( p + 1 ) i m e s ( p + 1 ) (p+1) imes(p+1) (p+1)imes(p+1) 矩阵 S ( β ) S(\beta) S(β) 的最小特征值和对应的特征向量，具体步骤如下：
（1）求矩阵 S ( β ) S(\beta) S(β) 的特征值和特征向量。
（2）选择 k k k 个特征值为正的特征向量，它们对应的特征值按降序排列。
（3）选择第一个特征值为正的特征向量作为基函数，构造一个函数族：
g j ( X ) = β j 0 + β j 1 X 1 + β j 2 X 2 + ⋯ + β j p X p g_j(X)=\beta_{j0}+\beta_{j1}X_1+\beta_{j2}X_2+\cdots+\beta_{jp}X_p gj(X)=βj0+βj1X1+βj2X2+⋯+βjpXp
（4）对于给定的 X 0 = ( 1 , X 1 , X 2 , ⋯ , X p ) T X_0=(1,X_1,X_2,\cdots,X_p)^T X0=(1,X1,X2,⋯,Xp)T，求函数 g j ( X ) g_j(X) gj(X) 的系数 β j k \beta_{jk} βjk，使得：
∑ i = 1 n e i 2 f j ( X i ) < ϵ \sum_{i=1}^{n}e_i^2f_j(X_i)<\epsilon i=1∑nei2fj(Xi)<ϵ
其中， e i e_i ei 为残差， f j ( X i ) f_j(X_i) fj(Xi) 为第 j j j 个基函数。这里的 ϵ \epsilon ϵ 是一个参数，控制模型的复杂度。
最终，我们选取满足 β j k > 0 \beta_{jk}>0 βjk>0 的 k k k 个基函数，以及对应的 β j k \beta_{jk} βjk，构造一个新函数 h β ( X ) = ∑ j = 1 k g j ( X ) h_{\beta}(X)=\sum_{j=1}^kg_j(X) hβ(X)=∑j=1kgj(X). 此时，残差平方和为：
S S E ( β ) = T r ( ( I − H ) ( Y − H X ; β ) ) SSE(\beta)=Tr((I-H)(Y-HX;\beta)) SSE(β)=Tr((I−H)(Y−HX;β))
其中， H H H 为投影矩阵， I − H I-H I−H 为偏移矩阵。
因此，我们可以用以下算法求解多元线性回归模型：
（1）载入数据
（2）初始化模型参数
（3）循环迭代：
（a）计算预测值：
h β ( X i ) = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + ⋯ + β p X i p h_{\beta}(X_i)=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\beta_2X_{i2}+\cdots+\beta_pX_{ip} hβ(Xi)=β0+β1Xi1+β2Xi2+⋯+βpXip
（b）计算残差：
r i = Y i − h β ( X i ) r_i=Y_i-h_{\beta}(X_i) ri=Yi−hβ(Xi)
（c）更新参数：
β j k : = β j k + α j k r i f j ( X i ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , p ; j = 1 , 2 , ⋯ , k \beta_{jk}:=\beta_{jk}+\alpha_{jk}r_if_j(X_i), k=0,1,2,\cdots,p; j=1,2,\cdots,k βjk:=βjk+αjkrifj(Xi),k=0,1,2,⋯,p;j=1,2,⋯,k
（4）返回模型参数
梯度下降法
梯度下降法 (Gradient Descent Method) 是机器学习中的一种优化算法。它利用损失函数 (Loss Function) 的梯度信息，迭代更新模型的参数，以极小化损失函数的值。假设当前的模型参数为 β = β 0 , β 1 , ⋯ , β p \beta=\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_p β=β0,β1,⋯,βp, 梯度为 $
abla_{\beta}J(\beta)$, 没有约束的损失函数为 J ( β ) = ∑ i = 1 N R ( β ; X i , Y i ) J(\beta)=\sum_{i=1}^NR(\beta;X_i,Y_i) J(β)=∑i=1NR(β;Xi,Yi), 约束为 K ( β ) = q K ( β ) − ϵ K(\beta)=qK(\beta)-\epsilon K(β)=qK(β)−ϵ, ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0, 损失函数的 Hessian 矩阵为 H ( β ) = a b l a β a b l a β T J ( β ) H(\beta)= abla_{\beta} abla_{\beta}^T J(\beta) H(β)=ablaβablaβTJ(β)。梯度下降法的最速下降法则为：
β n e w = β o l d − γ a b l a β J ( β ) \beta^{new}=\beta^{old}-\gamma abla_{\beta}J(\beta) βnew=βold−γablaβJ(β)
其中， γ \gamma γ 为步长 (Step Size)。梯度下降法的迭代停止条件为：
∣ ∣ β e x t ( n e w ) − β e x t ( o l d ) ∣ ∣ < ϵ ||\beta^{ ext{(new)}}-\beta^{ ext{(old)}}||<\epsilon ∣∣βext(new)−βext(old)∣∣<ϵ
梯度下降法可以用于非凸的损失函数 (Nonconvex Loss Function)，但是收敛速度慢。
拟牛顿法
拟牛顿法 (BFGS Method) 是梯度下降法的一种改进方法。它利用损失函数的一阶导和二阶导，利用海塞矩阵 (Hessian Matrix) 的近似逼近，迭代更新模型的参数，以极小化损失函数的值。
拉格朗日法
拉格朗日法 (Lagrange Multiplier Method) 是一种对偶方法。它的基本思想是在目标函数中加入一系列新的等价损失函数，以便求解原始问题的最优解。在约束最优化问题中，我们定义原始问题的原始型为：
m i n w f ( w ) + g ( w ) min_w\quad f(w)+g(w) minwf(w)+g(w)
其中， w w w 为未知参数； f : R n → R f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} f:Rn→R 为目标函数， g : R n → R + + g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}_{++} g:Rn→R++ 为约束函数。我们希望在原始问题的约束条件下，找到最优解 a r g m i n w f ( w ) argmin_w\quad f(w) argminwf(w)。相应地，我们可以在原始问题中引入拉格朗日乘子 λ \lambda λ，定义对偶问题：
m a x λ λ o p ( g ( w ) − ϵ ) max_{\lambda}\quad \lambda^{ op}(g(w)-\epsilon) maxλλop(g(w)−ϵ) s . t . f ( w + λ α w g ( w ) ) ⩽ − ϵ s.t.\quad f(w+\lambda \alpha_wg(w))\leqslant-\epsilon s.t.f(w+λαwg(w))⩽−ϵ
其中， λ o p \lambda^ op λop(违背函数)、 + λ +\lambda +λ (沿着梯度方向移动)、 − x -x −x (作用在 f ( w ) f(w) f(w) 上)、 ϵ \epsilon ϵ (容忍度) 为参数， ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0。拉格朗日乘子 λ \lambda λ 使得对偶问题成为一个凸问题，而且可以采用标准的算法来求解。
牛顿法
牛顿法 (Newton Method) 是一种非线性迭代算法，在凸二次型的情景下，它是最优值点收敛到极值点的唯一方法。它首先确定初始点 x 0 x_0 x0，然后迭代更新点 x k + 1 x_{k+1} xk+1，直至收敛到极值点。
共轭梯度法
共轭梯度法 (Conjugate Gradient Method) 是一种非线性迭代算法。它利用矩阵的乘法结构，从初始点 x 0 x_0 x0 出发，利用梯度和拟牛顿法的动力系统，一步步迭代更新点 x k + 1 x_{k+1} xk+1，直至收敛到极值点。
梯度下降法与共轭梯度法比较
考虑目标函数 f ( x ) : R n → R f(x):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} f(x):Rn→R, 求解 f f f 的极小值。对于凸函数，有两种常用的方法，分别是梯度下降法和共轭梯度法。
对于凸函数 f f f, 其 Hessian 矩阵为 H ( x ) = ( a b l a x 2 f ) ( x ) H(x)=( abla_x^2f)(x) H(x)=(ablax2f)(x)。令 Q ( x ) Q(x) Q(x) 为 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x x x 的切线 (Tangent) 的截距。如果 f f f 在点 x x x 是严格单调递减的，且 H ( x ) H(x) H(x) 负定时半正定，则点 x x x 是极小值点，否则不是。
我们说，梯度下降法和共轭梯度法都是利用 f f f 的海森矩阵 H ( x ) H(x) H(x) 在点 x x x 的线性化计算下降的方向，但有着明显的差别：
梯度下降法
假设函数 f f f 的一个极小值点为 x ∗ x^* x∗。对某个步长 α > 0 \alpha>0 α>0，设导数为 α x f ( x ) \alpha_xf(x) αxf(x), 设 t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t∈(0,1), 那么，梯度下降法的迭代序列为：
x k + 1 = x k − α t α x f ( x k ) x_{k+1}=x_k-\alpha t\alpha_xf(x_k) xk+1=xk−αtαxf(xk)
当 t = 0 t=0 t=0 时， x k + 1 = x k x_{k+1}=x_k xk+1=xk; 当 t = 1 t=1 t=1 时， x k + 1 = x ∗ x_{k+1}=x^* xk+1=x∗。
共轭梯度法
共轭梯度法的基本思路是寻找函数 f f f 在某一点 x k x_k xk 的切线上的极小值点。设 Q ( x ) Q(x) Q(x) 为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x x x 的切线的截距。设 p k p_k pk 为点 x k x_k xk 的一单位范数的方向向量， β k ∈ R \beta_k\in\mathbb{R} βk∈R 为 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x k x_k xk 的梯度在向量 p k p_k pk 上的投影。对某个正数 α > 0 \alpha>0 α>0，共轭梯度法的迭代序列为：
x k + 1 = x k + α p k + β k f ( x k ) x_{k+1}=x_k+\alpha p_k+\beta_kf(x_k) xk+1=xk+αpk+βkf(xk)
从等式右侧看，迭代点 x k + 1 x_{k+1} xk+1 位于函数 f f f 的切线上。由此可见，共轭梯度法是梯度下降法的一种更精细的逼近，它的迭代效果也更好。
根据拉格朗日法、牛顿法、共轭梯度法的等价关系，我们可以总结一下这几种优化算法的特性：
从上表可以看出，梯度下降法和共轭梯度法都可以很快地收敛到极小值点，但是牛顿法较慢。因此，在某些情况下，我们可以优先考虑共轭梯度法。另外，共轭梯度法适用于含有约束的非凸问题，而梯度下降法不一定适用。
4. 具体代码实例和解释说明
Linear Regression Algorithm Implementation by Python
We will implement the Linear Regression algorithm using Python language and scikit learn library to solve the task. Firstly let’s install the scikit learn package on our system if it is not installed already using following command in terminal or cmd prompt:<|im_sep|>
