定积分计算
前言定积分的常规计算技巧—牛顿-莱布尼茨公式定积分的几何意义利用奇偶性简化计算利用周期性平移和缩小积分区间利用Wallis公式利用一个常见的积分公式定积分计算练习题前言
定积分的计算依赖于不定积分的计算，其基本方法是利用牛顿莱布尼茨公式，即算出f(x)的原函数F(x)之后，在区间[a，b]的端点上作差即可。
但是，一个函数在区间[a,b]上可积与在区间[a，b]上存在原函数是两个截然不同的概念。
有些函数f(x)再区间[a，b]可积，但是却不存在原函数。
有些函数f(x)再区间[a，b]上存在原函数F(x)，但是却不可积。
所以，利用N-L公式计算积分的前提是—函数f(x)在区间[a,b]上不仅存在原函数，而且还可积。
显然，对于那些可积却又不存在原函数的函数f(x)，在求其定积分时，无法使用N-L公式。并且即便一个函数f(x)既存在原函数，也可积，但是其原函数很有可能不是初等函数。
基于以上种种原因，我们同时也需要找到一些其他的方法来计算定积分的值。
常用的技巧有如下几个：
利用定积分的几何意义
利用奇偶性化简计算
利用周期性平移和缩小积分区间
利用区间再现公式简化计算
利用Wallis公式
利用一个常见的积分公式
这次我们主要利用牛顿-莱布尼茨公式，利用定积分的几何意义，利用周期性平移和缩小积分区间，利用wallis公式来学习定积分的计算。🤗🤗
最主要的定积分的计算当然还是牛顿-莱布尼茨公式啦，所以在本篇的最后，配有一些简单的练习题，不妨简单做一下练练手吧！🥳🥳
定积分的常规计算技巧—牛顿-莱布尼茨公式
例题1
例题2
思想
首先，我们先根据这个思想解一道题目，再返回去看看例题2。
引例
注
在本题中，换元之后，最好不要将dx解出来，而应该直接分部。否则被积函数次数太高不好做！
好接下来,我们接着看上面的例题2。
这道题目包含很多平时处理的技巧很不错👻
例题3
这道题目和上一题有一些类似，但好像更加吓人，因为它是根号里面又有个根号。
这时候要怎么处理呢？首先，我们所谓的步骤都是为了我们最终的目的而服务的。我们希望我们的式子中不会出现根号，所以这么想，我们直接就令外面这个大根号为t，那么被积函数会成为arcrant就看起来好很多了。
这一题，需要注意的是同上一题一样，反解出来x之后，放在d后面，千万不要进行求导了，这样会把题目放复杂很多的。
以上几道题，本质上其实就是不定积分的计算，只是多了最后一步“代入上下限”而已。
例题4
先来看错误的解法，你有没有进坑呢？
但是显而易见被积函数在其被积区间恒大于0,那么其积分就一定大于0，所以上面的解法就一定是错的。
由定理：
若有原函数，原函数求导得到f，那么原函数F一定连续。
而反过来看上面那道题，得到了原函数，但F在 π 2 π 2 \frac{\pi}{2}\frac{\pi}{2} 2π2π均没有定义，不连续。(实际上在第一个等号处就很不严谨了，同时除以 c o s 2 x cos^2x cos2x，而在区间[0, 2 π 2\pi 2π]上cosx有为0的点)
而在积分区间内部出现无定义点，是不能使用牛顿莱布尼茨公式的。
那如何解决这个问题呢?将积分区间从无定义点处拆开，拆分成若干个小积分之和。对于每一个小积分而言，无定义点都是积分区间的端点，而不在积分区间的内部。
此时，对每个小积分使用推广的牛顿莱布尼兹公式，即可正确算出积分值。
但是，这样做同样的计算写了好几遍有些繁琐。
所以，我们可以利用周期性和对称性，提前将无定义点从积分区间内部移出。
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义来计算定积分的值
例题1
若不用几何意义，利用换元法进行计算。
利用奇偶性简化计算
例题
利用周期性平移和缩小积分区间
例题1
例题2
利用Wallis公式
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