严恭敏，-11-11
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Savage P G. A new second-order solution for strapped-down attitude computation[C]. AIAA/JACC Guidance and Control Conference, Seattle, Washington, Aug. 15-17, 1966.
双速算法，指出快速解算回路的频率需与采样脉冲频率一样快，对减少计算量斤斤计较。
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Wilcox, J.C., "A New Algorithm for Strapped-Down Inertial Navigation," IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-3, No. 5, Sept. 1967, pp. 796-802.
关注四元数和矩阵毕卡求解算法，着重分析计算量和误差，没有涉及圆锥误差补偿问题。
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**Jordan, J., "An Accurate Strapdown Direction Cosine Algorithm,"NASA TN-D-5384, Sept. 1969
虽然没有Bortz方程，但使用RV概念和多项式拟合角速度，给出了二子样算法结果，Ref.6(1966),作者书Ref.5(Jordan,Direction cosine computational error1969)均得到同样结果，开山鼻祖啊！
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***Bortz, J. E., “A New Mathematical Formulation for Strapdown Inertial Navigation,”IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. AES-7, No. 1, 1971, pp. 61–66.
提出了等效旋转矢量(RV)Bortz方程（推导过程比较复杂，秦书中也复杂，有没有简单点的方法？），推导了姿态矩阵(DCM)与RV的关系（不考虑计算量，由DCM+RV也可进行完美的姿态更新，并不一定要四元数+RV，但后者更简洁些），给出了圆锥运动的RV、角速度、DCM描述。采用DCM而非四元数表示姿态，以现在观点看文章第IV节的姿态更新编排算法已不适用（用模拟电路法）。(J.E. Bortz, Sr., "A new concept in strapdown inertial navigation," NASA Tech. Rept. TR R-329, March 1970.同在NASA工作且与前面Jordan的NASA TN-D-5384报告时间相近，两人是否同事？报告3.36也给出了Bortz方程。该报告含Laning theory，“**Laning J H. The vector analysis of finite rotations and angles[R]. Massachusetts Institute of Technology Instrumentation Laboratory, Special Rept. No. 6398-S-3, Defense Documentation Center ATI 85623, Sep., 1949”下载不到，因此值得一看)。
关于Bortz方程（Nazaroff, G. The orientation vector differential equation.AIAA Journal of Guidance and Control (July 1979). / Savage, Strapdown system algorithms. Advances in strapdown inertial systems. AGARD, 1984. / Jiang, Y. E, and Lin, Y. P. On the rotation vector differential equation. IEEE Pansactions on Aerospace and Electronic Systems(Jan. 1991). / Schuster, M. D. The kinematic equation for the rotation vector.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems(Jan. 1993).见M. B. IGNAGNI, On the Orientation Vector Differential Equation in Strapdown Inertial Systems, IEEE Pansactions on Aerospace and Electronic Systems(Jan. 1994).中参考文献[3-9]）进行了不同推导方法的研究或诠释，但过程还都是比较复杂不易懂的。有时间的话可以好好整理一个易懂点的。
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Gilmore, J.P., "Modular Strapdown Guidance Unit with Embedded Microprocessors,"Journal of Guidance and Control,Vol. 3,
Jan. 1980, pp. 3-10.
主要介绍SINS的硬件整体组成，关于算法只有一段话，他说式(9)来源Bortz，但好像找不到？当时的计算机Motorola-M6800(1975年)主频仅有1MHz量级，所以降低计算量非常关键。（捷联惯导概念源于1950年代，那时只有电子管/晶体管计算机，还没出现集成电路计算机；1985年10月Intel推出16MHz 80386DX微处理器，1989年4月Intel推出25MHz 486微处理器，它集成了386和387数学协处理器，并添加了一个8KB的一级缓存，使用了120万个晶体管（1微米技术），处理速度20MIPS，总线速度25MHz，从这之后惯导解算的计算量肯定不再是关键问题了）
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***Miller, R.,“A New Strapdown Attitude Algorithm,”Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 6, No. 4, 1983, pp. 287–291.
采用多项式拟合角增量，推导了三子样算法，在圆锥运动下推导了优化三子样算法。验证了算法在随机振动下的性能，高子样算法还是效果好。发现量化误差对补偿效果影响很大。其中关于计算量问题的研究，现在已不重要。“Quaternion Updating”的研究也不重要了，直接用三角函数算就行了。
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Lee, J. G., Yoon, Y. J., Mark, J. G., and Bzartes, D. A. Extension of strapdown attitude algorithm for high-frequency base motion. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 13,4 (JUly-AUg. 1990), 738-743.
采用多项式拟合角增量推导了四子样算法，及圆锥优化算法(几乎与Miller的思路相同)，给出快速回路RV实时迭代的很好解释（但目前应用必要性不大）。题目中的‘for high-frequency base motion’好像不能很好体现。
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**(1)Ignagni, M. B. (1990)Optimal strapdown attitude integration algorithms. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 13,2 (Mar.-Apr. 1990), 363-369.(2)Ignagni,M. B., “Efficient Class of Optimal Coning Compensation Algorithms,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 19, No. 2, 1996, pp. 424–429.
罗列了一系列的子样算法，不过表达式有点繁杂哦。给出了在振动和benign(多项式)运动下的适应性，误差与采样间隔4次方成比例，说明圆锥误差补偿优化系数在benign运动下误差也大（有幸的时，持续产生多项式的实际运动并不多见，因此不会持续出现误差，更有意义的是补偿圆锥误差，这是一种容易持续出现的误差，见1990年式(40)后描述）。1990年式（6）定义纯圆锥运动的第三轴角速度分量为0是不是不合适？（应按Miller文献公式A3才准确）可能这虽不影响分析结果。给出振动下的误差公式(39)如何用于评估。1996年式（1）（或1996年式(13)）中afa应为等效旋转矢量才正确，若定义为角速度只能是作为近似，不是”exact coning integral”。确定圆锥运动条件下补偿系数只与子样间隔有关（式（5）），可用于简化算法分析。
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Jiang, Y. F, and Lin, Y. P., "Improved Strapdown Coning Algorithms," IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 28, No. 2,1992, pp. 486^89.
主要说明前一major子样的用处，前人也有提过。式(32)假设圆锥频率已知则可完全补偿圆锥误差，这当然不大实际可用。
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*Musoff H, Murphy J H. Study of strapdown navigation algorithms[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1995, 18(2): 287–290.
在角增量与角速度垂直条件下指出圆锥误差最大化的角运动是雅克比椭圆函数（Jacobian elliptic function，JEF），普通的圆锥运动只是其特例，通过仿真（难以理论推导）指出传统的圆锥误差补偿在JEF下并不最优，但文章并没能给出在JEF下如何优化圆锥误差补偿系数，可能是推导太困难了吧，也说明以JEF角运动作为标准很不好用。文章还指出利用插值方法可提高圆锥补偿精度，相当于提高了采样率（应用Wilkinson filter），若陀螺角增量采样存在量化误差，似乎说明低采样率再插值对减少量化误差有好处（直接采用高采样率反而不好）。
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**Park C G, KimK J , Lee J G, et al. Formalized approach to obtaining optimal coefficients for coning algorithms[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1999, 22(1): 165-168
给出了圆锥误差补偿系数求解的一般化方法，很简洁。给出了圆锥补偿漂移剩余误差的通式（21）。
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Savage P G. Strapdown inertial navigation integration algorithm design part 1: attitude algorithms[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998, 21(1): 19-28.Savage P G. Strapdown inertial navigation integration algorithm design part 2: velocity and position algorithms[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998, 21(2): 208-221.
对整套SINS算法进行了很好地总结（并不是专门研究圆锥误差补偿的，其中关于双速算法的描述有点复杂没必要，感觉像似在推销他自己的方法才这么写的），基本可以照文中公式写出导航程序，实际应用性强。航空惯性级惯导对陀螺的精度要求是0.007度/小时、对加表的要求是40ug。计算误差不应大于器件误差的5%。
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注:前述文献前“*”号多者表示原创性或重要程度高.
（1）由于计算机速度的提高，关于早期快速回路和慢速回路的复杂设计已经意义不大了（几乎毫无必要！特别考虑与惯导速度更新进行协调时更是如此），没必要在快速回路中迭代更新等效旋转矢量，而只需采用多子样公式直接计算一次，再直接计算慢速回路的四元数更新即可。即在Major(Minor(Subminor))三种interval中只需后两种即可了（1996年Ignagni图1，式(2)有点复杂），姿态四元数更新与Minor同步，或者说没有慢速回路。（可参见Savage P G. Strapdown inertial navigation integration algorithm design part 1: attitude algorithms前言最后一段）
（2）所有文献都认为半锥角时小角度，但小到何种量级没给出（有些仿真给的是1度），若考虑半锥角非特别的小角度，则高子样算法的精度远远被高估了，为何没有多少人指出这一问题？可参考我的论文“经典圆锥误差补偿算法中剩余误差估计的局限性研究”。
（3）若考虑到实际陀螺的量化噪声，圆锥误差补偿精度会被淹没了（Miller文献）。感觉实际应用中二子样、最多三子样就足够足够足够了！这正体现了科学研究结论的简洁性，而不是结论越来越复杂让人看不懂。现在看来再研究圆锥补偿算法已经没有多少实际意义了（理论意义不敢否认），已有算法精度足够工程师们用上几十年、甚至永远了。
（4）国内研究圆锥误差补偿算法的论文至少有几百篇以上，但多数是跟踪性研究或做些简单验证。可能有些方面存在误区：1）研究陀螺角速率输入条件下的圆锥误差补偿可能用处不大，它对噪声太敏感。现实中陀螺应该没有在采样点处输出纯粹的该时刻角速率的，即使像光纤陀螺貌似输出采样点处的角速率，但实际很多厂家在其内部也是进行高速采样（几千Hz）和平均滤波再低频（几百Hz）输出的，所以本质上还像是增量输出。2）过于追求子样数多和剩余漂移误差小，仿真结果甚至10的负20次方以上，毫无实际意义可言。3）低精度的实际系统SINS也费大劲考虑圆锥补偿，试图提高精度，根本没必要。还不如安心研究测试如何补偿惯性器件本身的测量误差。
（5）姿态圆锥误差补偿算法是SINS中的核心，速度划船误差误差不是那么重要（根据对偶原理Ignagni M B. Duality of optimal strapdown sculling and coning compensation algorithms[J]. Navigation: Journal of the Institute of Navigation, 1998, 45(2): 85-95. / Roscoe K M. Equivalency between strapdown inertial navigation coning and sculling integrals/algorithms[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001, 24 (2): 201-205，无非都是求两个时变矢量叉乘的积分问题，从圆锥误差补偿出发很容易得到划船的结果），位置涡卷误差基本没必要（现实中地球形状参数、重力场异常等误差比这影响大多了）。
