基于 MATLAB 的圆度评定方法 The Method of Roundness Assessment Based on MATLAB 周剑平 (黄石理工学院机械与动力工程系 ,湖北 黄石 435003) 摘 要:本文利用 MATLAB 优化工具箱 ,采用最小区域圆法、最小二乘圆法、最小外接圆法和最大内接圆法进行圆度的评定。并给出了 参考程序和运行结果。 关键词:圆度;优化;最小区域圆;最小二乘圆;最小外接圆;最大内接圆;MATLAB 在 GB7234 - 87《圆度测量术语、定义及参数》中 ,圆度误差的评定方法有 :最小区域圆法、最小二乘圆法、最小外接圆法和最大内接圆法。用最小区域圆评定准则所评定的圆度误差值为最小 ,且具有唯一性 ;最小二乘圆评定准则所评定的圆度误差值也具有唯一性 ,但数值不是最小 ;其它两种准则在我国应用较少 ,我国标准规定圆度误差必须按最小区域圆评定准则进行评定。在技术条件允许的情况下 ,也可应用最小二乘圆评定准则予以评定。如果这些问题用其它高级语言(如 :VC ,VB ,FORTRAM 等)求解 ,不但相应的计算程序编制的难度较大 ,而且很容易出错。Matlab 拥有强大的科学计算及数据处理能力 ,600 多个数学运算函数 ,可以方便地实现各种计算功能 ,本文利用 MATLAB 提供的优化工具箱 ,轻松地完成圆度评定工作。 1 圆度评定数学模型 1. 1 最小区域圆法 图 1 最小条件圆心和圆度值 在进行形状误差评定时 ,必须遵循国家标准 GB1598 - 80《形状和位置公差 —检测规定》中提出的“最小条件原则” ,即评定时被测要素 相对其理想要素的最大变动量应为最小。采用基于“最小条件原则”的最小区域法评定圆度误差的方法如下 :如图 1 所示 ,o 是实际轮廓图形的坐标原点 , Pi ( xi , yi) ( i = 1 ,2 , ⋯, n) 为 n 个测得的点坐标值 , o′为最小条件圆心 ,其坐标为( a , b) ,令目标函数 F( a , b) F( a, b) = Rmax - Rmin = ( xmax - a)2 + (ymax - b)2 - ( xmin - a)2 + ( ymin - b)2 (1) 式中 : Rmax : Rmin ;从 ( a , b) 点到轮廓最远和最近被 测点的半径; xmax , ymax :和 Rmax相对应的坐标; xmin , ymin :和 Rmin相对应的坐标。 式(1)的含义是包容实际轮廓两同心圆 A 和 B 的半径差。当用优化方法求得 F( a , b) 的最小值 Fmin时 ,则( a , b) 就是满足最小条件的最小区域圆的圆心坐标值 , 而 Fmin就是最小区域圆度误差值。 1. 2 最小二乘圆法 图 2 最小二乘圆心和半径 最小二乘圆评定法的目标函数可由图 2 建立。图中 o 点为实际轮廓图形的坐标原点 , o′、R 为最小二乘圆的圆心 和半径 , Pi ( xi , yi) ( i = 1 ,2 , ⋯, n) 为 n 个测得的点坐标值 ,令目标函 数 F( a , b , R) F( a , b , R) = ∑ n i = 1 ( Ri - R) 2 = ∑ n i = 1 ( ( xi - a) 2 + ( yi - b) 2 - R) 2 (2) 式(2) 的含义是实际轮廓各测点到最小二乘圆距离 的平方和为最小。当用优化方法求得 F ( a , b , R) 的最小值时 ,则( a , b) 就是满足最小条件的最小二
