定积分和微积分基本定理
【考纲要求】
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分，利用定积分求面积。
【知识网络】
【考点梳理】
要点一、定积分的概念
定积分的定义：如果函数
在区间
上连续，用分点
将区间
等分成
个小区间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
，当
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数
在区间
上的定积分.记作
，即
＝
，这里，
与
分别叫做积分下限与积分上限，区间
叫做积分区间，函数
叫做被积函数，
叫做积分变量，
叫做被积式.
要点诠释：
(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
(2)用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
要点二、定积分的性质
(1)
(
为常数)，
(2)
，
(3)
(其中
)，
(4)利用函数的奇偶性求积分：
若函数
在区间
上是奇函数，则
；
若函数
在区间
上是偶函数，则
.
要点三、微积分基本定理
如果
，且
在
上连续，则
,其中
叫做
的一个原函数.由于
也是
的原函数，其中c为常数.
一般地，原函数在
上的改变量
简记作
.因此，微积分基本定理可以写成形式：
.
要点诠释：
求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
要点四、定积分的几何意义
设函数
在区间
上连续.
在
上，当
时，定积分
在几何上表示由曲线
以及直线
与
轴围成的曲边梯形的面积；如图(1)所示.
在
上，当
时，由曲线
以及直线
与
轴围成的曲边梯形位于
轴下方，定积分
在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；
在
上，当
既取正值又取负值时，定积分
的几何意义是曲线
，两条直线
与
轴所围成的各部分面积的代数和.在
轴上方的面积积分时取正号，在
轴下方的面积积分时，取负号.如图(2)所示.
要点五、应用
(一)应用定积分求曲边梯形的面积
1.如图，由三条直线
，
，
轴(即直线
)及一条曲线
(
)围成的曲边梯形的面积：
；
2.如图，由三条直线
，
，
轴(即直线
)及一条曲线
(
)围成的曲边梯形的面积：
；
3.如图，由曲线
及直线
，
围成图形的面积公式为：
.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
(3)写出定积分表达式；
(4)求出平面图形的面积.
(二)利用定积分解决物理问题
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程
，等于其速度函数
在时间区间
上的定积分，即
.
②变力作功
物体在变力
的作用下做直线运动，并且物体沿着与
相同的方向从
移动到
，那么变力
所作的功
.
【典型例题】
类型一：运用微积分定理求定积分
例1.运用微积分定理求定积分
(1)
；(2)
；(3)
.
【解析】(1)∵
，
∴
；
(2)∵
，
∴
.
(3)∵
，
∴
；
【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得
的原函数
。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求
，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。
举一反三：
【变式】计算下列定积分的值：
(1)
，(2)
【解析】(1)
(2)
【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577典型例题四】
例2.求
【解析】
【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止.
举一反三：
【变式】计算下列定积分的值.
(1)
；(2)
；(3)
；
【解析】(1)
，
(2)
.
(3)
.
例3.求定积分
，求函数
在区间
上的积分；
【解析】
.
【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。
举一反三：
【变式】求定积分：
；
【解析】
＝
＋
＝
＋
＝
＝
类型二：利用定积分的几何定义
例4.求定积分：
；
【解析】设
，则
表示
个圆，
由定积分的概念可知，所求积分就是
圆的面积,
所以
举一反三：
【变式】求定积分：
【解析】设
，则
表示如图的曲边形，
其面积
,
故
.
类型三：利用定积分求平面图形面积
例5．求直线
与抛物线
所围成的图形面积.
【解析】如图，由
得，交点
，
，
所求面积：
.
【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：
(1)画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
(2)找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限)；
(3)确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；
(4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；
(5)计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577典型例题一】
【变式1】由直线
，
，曲线
及
轴所围图形的面积为( ).
A．
B．
C．
D．
【解析】
【答案】D
【变式2】在曲线
上的某点A处作一切线使之与曲线以及
轴所围成的面积为
. 试求：切点A的坐标以及切线方程.
【解析】设点
，则切线
，即
，则
由
，得点
，
∴
，
∴
，即
，解得
.
∴切点
，切线
.
类型四：利用定积分解决物力问题
例6.汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度
米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，
当
时，汽车速度
公里/小时＝
米/秒
8.88米/秒.
刹车后汽车减速行驶，其速度为
.
当汽车停车时，速度
，
故从
到
用的时间
秒.
于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
＝
米.
即在刹车后，汽车需走过21.90米才能停住.
【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.
举一反三：
【变式1】一物体在力
的作用下，沿着与
相同的方向，从
处运动到
处，求力
所做的功。
【解析】
.
【变式2】一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度
(单位：
)紧急刹车至停止。求：
(1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
(2)紧急刹车后火车运行的路程。
【解析】(1)由
解得
，因此，火车经过
后完全停止；
(2)
=
。
巩固练习:
1.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()
A．
B．
C．
D．
2.已知二次函数
的图象如图所示,则它与
轴所围图形的面积为()
A．
B．
C．
D．
3．
与
的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.无法确定
4．下列结论中错误的是( )
A．
B．
C．
＝
＋
(其中
D．
＝
5．下列定积分值为0的有()
A.
B.
C.
D.
6．已知
为偶函数且
，则
()
A.0B.4C.8D.16
7．定积分
()
A.
B.
C.
D.
8．曲线
与坐标轴围成的面积( )
A．4
C．
D．3
9．一辆汽车以速度
的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为( )
A.
B.1C.3D.27
10．已知自由落体运动的速度
，则落体运动从
到
所走的路程为( )
A．
C．
D．
11．
；
12．
=；
13．设
，则
＝；
14．求
.
15．求曲线
与
轴所围成的图形的面积．
16．求由两条曲线
及直线
所围成图形的面积.
【参考答案与解析】
1.C
【解析】
,故
,
2.B
【解析】根据图像可得:
,再由定积分的几何意义,
可求得面积为
3．A
【解析】
，
4．D
5．D
【解析】设
则
∵
在区间
上是奇函数，
∴
6. D
【解析】
为偶函数，则
7. D
【解析】
中的被积函数
恰是一个位于x轴上方的半圆，
其面积为
，故
，又
∴
8．D
9．D
【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：
10．C
11.
【解析】
；
12．
【解析】原式=
13．
14．【解析】
＝
＝
又
，
∴原式＝
＝
.
即
＝
.
15．【解析】首先求出函数
的零点：
，
，
.
又易判断出在
内，图形在
轴下方，在
内，图形在
轴上方，
所以所求面积为
16．【解析】如图所示，
解方程组容易得到
.
由对称性，所求图形的面积为
轴右侧图形面积的2倍，则图形的面积为：
＝
.
若选
为积分变量，则所求面积为：
.
定积分及其应用知识点总结_高中数学知识点复习资料归纳整理：定积分和微积分基本定理...
